676. El tercer teorema japonés. RESOLUCIÓN

    En el bloc de dibujo de Pepe Chapuzas hay, como es natural, dibujos..., pero también, y esto es lo que nos interesa ahora, teoremas. Me llamó la atención este teorema relacionado con un dibujo de tangencias...

    Las tres circunferencias eran tangentes entre sí y a una recta... En el margen de la lámina se leía...

    Tercer teorema de Mikami y Kobayashi (o tercer teorema japonés). Si r, s y t son, de menor a mayor, los radios de las tres circunferencias, entonces 1/√r = 1/√s + 1/√t.

    Demuéstralo...

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla dibujó y coloreó tres triángulos rectángulos...

    Mire, profe. Por el teorema de Pitágoras, los tres lados del triángulo rectángulo azul son t+s, t–s y √((t+s)²–(t–s)²) = 2√(ts); los tres del verde son t+r, t–r y √((t+r)²–(t–r)²) = 2√(tr); y los tres del lila son s+r, s–r y √((s+r)²–(s–r)²) = 2√(sr). Por lo tanto 2√(ts) =  2√(tr) + 2√(sr) y, dividiendo todo entre 2√(tsr) nos queda 1/√r = 1/√s + 1/√t, que es lo que teníamos que demostrar...

    Si hay un tercer teorema japonés es porque hay un primero y un segundo... Búscalos...

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso dibujó en su bloc los dos teoremas:

    Profe, mire. El primer teorema japonés afirma que si triangulamos un polígono convexo inscrito en un círculo a partir de un vértice, entonces la suma de las circunferencias inscritas en los triángulos no depende del vértice elegido.

    El segundo teorema japonés afirma que los incentros de los triángulos que se obtienen al partir un cuadrilátero inscrito en un círculo por una diagonal y los incentros del los triángulos que se obtienen al partirlo por la otra diagonal son vértices de un rectángulo.

675. Cortar con hacha de guerra. RESOLUCIÓN

    A Pepe Chapuzas le regalaron una auténtica hacha de guerra de la tribu Powhatan (la de Pocahontas)... Funcionaba como hacha de guerra (tomahawk) y como pipa de la paz (calumet).

    Me dio pie para hablar del problema clásico de la trisección del ángulo... Expliqué que en general era imposible trisecar un ángulo (dividirlo en tres partes iguales) con las herramientas básicas de dibujo (regla y compás)... Al día siguiente, Pepe tenía algo que decir... Había descubierto la relación entre el hacha de guerra y la trisección del ángulo...

    Profe, mire. Se puede construir con regla y compás una herramienta, llamada tomahawk por su parecido al hacha de guerra, con la que se puede trisecar ángulos... 

    Investiga y desentierra el hacha de guerra...

SOLUCIÓN

    Con una lámina de plástico azul transparente, Nina Guindilla se construyó un tomahawk para trisecar ángulos:

    Profe, mire. Lo importante es que el segmento s mida lo mismo que el radio r del semicírculo...

    Nina había desenterrado el hacha... Era un tomahawk precioso pero no nos explicó cómo funcionaba... Así que a ti te toca cortar... los ángulos.

RESOLUCIÓN

    Le di un ángulo a Yoyó Peluso... Y Yoyó tomo el hacha y la encajó entre los lados AB y AE y el vértice A del ángulo como se muestra en la figura:

    Mire, profe. Los triángulos ACB, ACD y AED son iguales, por lo que el ángulo queda trisecado.

674. El laberinto de Jordan. RESOLUCIÓN

    Pepe Chapuzas había dibujado chapuceramente un "laberinto de Creta". Lo había hecho con un solo trazo: una curva cerrada que no se intersecaba a sí misma... Entonces comenté por encima el teorema de la curva de Jordan (cuyo enunciado es obvio pero cuya demostración no lo es) que aseguraba que esta curva divide al plano en dos regiones: la interior y la exterior. Pepe había situado al Minotauro en la estrella roja...

    Profe... ¿Está el Minotauro dentro o fuera? ¿Puede escapar del laberinto?

    ¿Tú qué opinas?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla "sacó" del laberinto al Minotauro en línea recta... atravesando la curva:

    Profe, mire. Como hay una cantidad par de intersecciones (8), el Minotauro está en la región exterior y puede escapar...

    ¿Estás de acuerdo con el razonamiento de Nina?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso hizo trampas... Coloreó (con un clic de ratón) la región interior y observó que el Minotauro estaba fuera... Y encontró el camino de salida...

673. El polinomio interpolador. RESOLUCIÓN

    El reto del fin de semana era calcular un polinomio P(x) de tercer grado a partir de los datos:

P(–1) = 1

P(1) = –5

P(2) = –5

P(3) = 13

    Pepe Chapuzas planteó un sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas...

    Profe, mire. Si el polinomio es P(x) = a + bx + cx² + dx³, entonces el sistema que tengo es:

P(–1) = a – b + c – d = 1

P(1) = a + b + c + d = –5

P(2) = a + 2b + 4c + 8d = –5

P(3) = a + 3b + 9c + 27d = 13

    La matriz de coeficientes

es de Vandermonde y su determinante vale /M/ = (1+1)(2+1)(3+1)(2–1)(3–1)(3–2) = 48. Al coincidir el rango de la matriz de coeficientes, el rango de la matriz ampliada y el número de incógnitas ( rg(M) = rg(M*) = #{a,b,c,d} = 4 ) el sistema es compatible determinado (teorema de Rouché). Lo resuelvo como una ecuación matricial (usando la regla de Sarrus ¡16 veces!)...

    El polinomio buscado es P(x) = 1 – 5x – 3x² + 2x³.
    Profe, con la regla de Cramer es igual de complicado... ¿Quizá con el método de Gauss?:

    Busca si existe otro método más cómodo...

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla encontró el polinomio interpolador con la fórmula de Lagrange, aunque tampoco era un método demasiado cómodo:

P(–1)·(x–1)·(x–2)·(x–3):(–1–1):(–1–2):(–1–3) +

+ P(1)·(x+1)·(x–2)·(x–3):(1+1):(1–2):(1–3) +

+ P(2)·(x+1)·(x–1)·(x–3):(2+1):(2–1):(2–3) +

+ P(3)·(x+1)·(x–1)·(x–2):(3+1):(3–1):(3–2)

=

1 · (x³ – 6x² + 11x – 6) : (–24) +

+ (–5) · (x³ – 4x² + x + 6) : 4 +

+ (–5) · (x³ – 3x² – x + 3) : (–3) +

 + 13 · (x³ – 2x² – x + 2) : 8

=

(–1/24–5/4+5/3+13/8)x³ + (1/4+5–5–13/4)x² + (–11/24–5/4–5/3–13/8)x + (1/4–15/2+5+13/4)

=

2x³ – 3x² – 5x + 1

    Seguid investigando...

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso encontró el método de las diferencias divididas de Newton...

    P(–1) = 1
                       P(–1,1) = –3
    P(1) = –5                            P(–1,1,2) = 1
                       P(1,2) =  0                               P(–1,1,2,3) = 2
    P(2) = –5                            P(1,2,3) = 9
                       P(2,3) = 18
    P(3) = 13

    P(x) = 1 – 3(x+1) + 1(x+1)(x–1) + 2(x+1)(x–1)(x–2) = 1 – 3x – 3 + x² – 1 + 2x³ – 4x² – 2x + 4 =
= 1 – 5x – 3x² + 2x³.

    Profe, creo que este es el método más rápido...

672. Sumatorios y productorios. RESOLUCIÓN

    Habíamos explicado cómo se utilizan los símbolos Σ y Π en Matemáticas para indicar sumatorios y productorios respectivamente... y había propuesto a mis alumnos que buscaran ejemplos en Internet... Pepe Chapuzas encontró el siguiente ejercicio que involucraba a los dos símbolos...

    ¡A ver cómo lo resuelves!

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla calculó por separado el sumatorio y el productorio para ver si coincidían... Estaba claro que la igualdad solo tenía sentido si N era un número natural mayor que 2...

    Mire, profe. El sumatorio es la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica cuyo primer término es 1 y cuya razón es 1/N. El resultado es 1/(1–1/N) = N/(N–1). Si fuera, por ejemplo N=10, tendríamos 1+0,1+0,01+0,001+... = 1,111...
    Por otro lado, los factores del productorio son (1–1/n²) = (1–1/n)(1+1/n) = (n–1)/n·(n+1)/n. Al multiplicarlo todo queda 2·(N–2)!/(N–1)!·N!/2/(N–1)! = N/(N–1) también. Y para N=10 tenemos

2·(1–1/4)·(1–1/9)·((1–1/16)·(1–1/25)·(1–36)·(1–1/49)·(1–1/64)·(1–1/81) =

= 2·3/4·8/9·15/16·24/25·35/36·48/49·63/64·80/81 = 

= 2·3/2/2·2·4/3/3·3·5/4/4·4·6/5/5·5·7/6·6·8/7/7·7·9/8/8·8·10/9/9 = 

= 10/9 = 1,111...

    ¿Qué ocurre para N=2? ¿Y para N=1?

RESOLUCIÓN

    Profe, mire. Si N=2 es cierta la igualdad porque el sumatorio es 1+1/2+1/4+1/8+... = 2 y el productorio sería un "producto sin factores", por tanto, 2·1 = 2. Además N/(N–1) = 2/1 = 2.
    Si N=1, el sumatorio da infinito (1+1+1+1+...) y el productorio...

    Yoyó Peluso se detuvo... para concluir:

    Al menos N/(N–1) = 1/0 tiene algo que ver con el infinito...

671. Entre parábolas. RESOLUCIÓN

    Cuando llegué a clase vi dibujadas en la pizarra dos curvas, una cóncava y otra convexa, que no se cortaban... Le mandé a Pepe Chapuzas borrar la pizarra... y cuando cogió el borrador preguntó:

    ¿Cuál es la distancia entre las curvas?

    Así que no borramos la pizarra. Escribí dos polinomios de 2º grado y pedí demostrar que las parábolas no se cortaban y calcular la mínima distancia entre ellas. Los polinomios eran

f(x) = x²/3 + 47/3

g(x) = – x²/6 + 10x/3.

    Hazlo y te llevas un positivo.

SOLUCIÓN

    Mire, profe. Es fácil comprobar que las parábolas no se cortan. Si hubiera intersección, entonces x²/3 + 47/3 = – x²/6 + 10x/3, y por tanto 3x² – 20x + 94 = 0, que no tiene solución porque el discriminante 20² – 4·3·94 = –728 < 0.

    Nina Guindilla podía calcular ahora la distancia. Veamos cómo...

    Para que sea mínima la distancia entre un punto S( s , s²/3 + 47/3 ) de la parábola f y un punto T( t , – t²/6 + 10t/3 ) de la parábola g, la pendiente de la parábola f en S y la pendiente de la parábola g en T deben coincidir, esto es, f'(s) = g'(t), esto es, 2s/3 = –t/3+10/3, y por lo tanto será t = 10–2s.
    Por otro lado, el segmento ST es perpendicular a las parábolas por lo que el producto escalar ( s–t , f(s)–g(t) ) · ( 3 , 2s ) = 0. (El vector ( 3 , 2s ) tiene pendiente 2s/3). Por lo que...

( s–t , s²/3 + 47/3 + t²/6 – 10t/3 ) · ( 3 , 2s ) = 0

( s–(10–2s) , s²/3 + 47/3 + (10–2s)²/6 – 10(10–2s)/3 ) · ( 3 , 2s ) = 0

( 3s–10 , s²/3 + 47/3 + 50/3 – 20s/3 + 2s²/3 – 100/3 + 20s/3 ) · ( 3 , 2s ) = 0

( 3s–10 , s² – 1 ) · ( 3 , 2s ) = 0

9s – 30 + 2s³ – 2s = 0

2s³ + 7s – 30 = 0.

    Esta ecuación se puede resolver con la regla de Ruffini:

    Y no tiene más soluciones porque el discriminante 4² – 4·2·15 = –104 < 0.
    Por lo tanto S( 2 , 17 ), T( 6 , 14 ) y la distancia √((2–6)²+(17–14)²) = 5. 

    ¿Es correcto el razonamiento de Nina? ¿Por qué el segmento ST tiene que ser perpendicular a las parábolas?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso dibujó la circunferencia con diámetro ST...

    Profe, mire. Si alguna parábola fuera secante a la circunferencia habría puntos de la parábola en el interior de la circunferencia y la longitud de ST no sería la distancia mínima, por lo tanto la circunferencia es tangente a las parábolas y ST es perpendicular...

    No necesitamos más detalles...