672. Sumatorios y productorios. RESOLUCIÓN

    Habíamos explicado cómo se utilizan los símbolos Σ y Π en Matemáticas para indicar sumatorios y productorios respectivamente... y había propuesto a mis alumnos que buscaran ejemplos en Internet... Pepe Chapuzas encontró el siguiente ejercicio que involucraba a los dos símbolos...

    ¡A ver cómo lo resuelves!

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla calculó por separado el sumatorio y el productorio para ver si coincidían... Estaba claro que la igualdad solo tenía sentido si N era un número natural mayor que 2...

    Mire, profe. El sumatorio es la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica cuyo primer término es 1 y cuya razón es 1/N. El resultado es 1/(1–1/N) = N/(N–1). Si fuera, por ejemplo N=10, tendríamos 1+0,1+0,01+0,001+... = 1,111...
    Por otro lado, los factores del productorio son (1–1/n²) = (1–1/n)(1+1/n) = (n–1)/n·(n+1)/n. Al multiplicarlo todo queda 2·(N–2)!/(N–1)!·N!/2/(N–1)! = N/(N–1) también. Y para N=10 tenemos

2·(1–1/4)·(1–1/9)·((1–1/16)·(1–1/25)·(1–36)·(1–1/49)·(1–1/64)·(1–1/81) =

= 2·3/4·8/9·15/16·24/25·35/36·48/49·63/64·80/81 = 

= 2·3/2/2·2·4/3/3·3·5/4/4·4·6/5/5·5·7/6·6·8/7/7·7·9/8/8·8·10/9/9 = 

= 10/9 = 1,111...

    ¿Qué ocurre para N=2? ¿Y para N=1?

RESOLUCIÓN

    Profe, mire. Si N=2 es cierta la igualdad porque el sumatorio es 1+1/2+1/4+1/8+... = 2 y el productorio sería un "producto sin factores", por tanto, 2·1 = 2. Además N/(N–1) = 2/1 = 2.
    Si N=1, el sumatorio da infinito (1+1+1+1+...) y el productorio...

    Yoyó Peluso se detuvo... para concluir:

    Al menos N/(N–1) = 1/0 tiene algo que ver con el infinito...