671. Entre parábolas. RESOLUCIÓN

    Cuando llegué a clase vi dibujadas en la pizarra dos curvas, una cóncava y otra convexa, que no se cortaban... Le mandé a Pepe Chapuzas borrar la pizarra... y cuando cogió el borrador preguntó:

    ¿Cuál es la distancia entre las curvas?

    Así que no borramos la pizarra. Escribí dos polinomios de 2º grado y pedí demostrar que las parábolas no se cortaban y calcular la mínima distancia entre ellas. Los polinomios eran

f(x) = x²/3 + 47/3

g(x) = – x²/6 + 10x/3.

    Hazlo y te llevas un positivo.

SOLUCIÓN

    Mire, profe. Es fácil comprobar que las parábolas no se cortan. Si hubiera intersección, entonces x²/3 + 47/3 = – x²/6 + 10x/3, y por tanto 3x² – 20x + 94 = 0, que no tiene solución porque el discriminante 20² – 4·3·94 = –728 < 0.

    Nina Guindilla podía calcular ahora la distancia. Veamos cómo...

    Para que sea mínima la distancia entre un punto S( s , s²/3 + 47/3 ) de la parábola f y un punto T( t , – t²/6 + 10t/3 ) de la parábola g, la pendiente de la parábola f en S y la pendiente de la parábola g en T deben coincidir, esto es, f'(s) = g'(t), esto es, 2s/3 = –t/3+10/3, y por lo tanto será t = 10–2s.
    Por otro lado, el segmento ST es perpendicular a las parábolas por lo que el producto escalar ( s–t , f(s)–g(t) ) · ( 3 , 2s ) = 0. (El vector ( 3 , 2s ) tiene pendiente 2s/3). Por lo que...

( s–t , s²/3 + 47/3 + t²/6 – 10t/3 ) · ( 3 , 2s ) = 0

( s–(10–2s) , s²/3 + 47/3 + (10–2s)²/6 – 10(10–2s)/3 ) · ( 3 , 2s ) = 0

( 3s–10 , s²/3 + 47/3 + 50/3 – 20s/3 + 2s²/3 – 100/3 + 20s/3 ) · ( 3 , 2s ) = 0

( 3s–10 , s² – 1 ) · ( 3 , 2s ) = 0

9s – 30 + 2s³ – 2s = 0

2s³ + 7s – 30 = 0.

    Esta ecuación se puede resolver con la regla de Ruffini:

    Y no tiene más soluciones porque el discriminante 4² – 4·2·15 = –104 < 0.
    Por lo tanto S( 2 , 17 ), T( 6 , 14 ) y la distancia √((2–6)²+(17–14)²) = 5. 

    ¿Es correcto el razonamiento de Nina? ¿Por qué el segmento ST tiene que ser perpendicular a las parábolas?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso dibujó la circunferencia con diámetro ST...

    Profe, mire. Si alguna parábola fuera secante a la circunferencia habría puntos de la parábola en el interior de la circunferencia y la longitud de ST no sería la distancia mínima, por lo tanto la circunferencia es tangente a las parábolas y ST es perpendicular...

    No necesitamos más detalles...