668. De tercer grado (2ª parte). RESOLUCIÓN

    Mire, profe. Cuando quitamos las equis de un polinomio de tercer grado (para la regla de Ruffini por ejemplo) me queda un "polinomio desnudo", que es como un vector de dimensión 4 o una matriz de dimensión 1x4. Es una cuestión de comas, paréntesis... y de recordar que si el polinomio es incompleto hay que rellenar con ceros... (También se rellenaría con ceros con un polinomio de menor grado.)

ax³ + bx² + cx + d ---> (a, b, c, d) vector

ax³ + bx² + cx + d ---> (a  b  c  d) matriz

    De hecho, una combinación lineal de polinomios de grado menor o igual que 3 es un polinomio de grado menor o igual que 3... Los coeficientes de un polinomio serían sus coordenadas respecto de la base {x³, x², x, 1}... Para "vestir" de nuevo al "polinomio desnudo" solo tengo que restituir las equis (mediante el producto escalar o el producto matricial)...

producto escalar ---> (a, b, c, d)·(x³, x², x, 1)

producto matricial ---> (a  b  c  d)·(x³  x²  x  1)^T

    Cuando Pepe Chapuzas se pone a relacionar objetos matemáticos...
    Escribe las siguientes transformaciones (lineales) del polinomio P(x) = ax³ + bx² + cx + d como el producto de la matriz P = (a  b  c  d) por una matriz cuadrada de orden 4. (Si es preciso, habría que evitar las discontinuidades evitables...)

A(x) = 5·P(x)

B(x) = P(x+1)

C(x) = x³·P(1/x)

D(x) = P'(x)

E(x) = P(2)

F(x) = (P(x)–P(1)):(x–1)

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla escribió las soluciones como "polinomios desnudos"...

    Profe, mire. Cada fila de la matriz 4x4 de la transformación está formada por la transformación de cada elemento de la base...
    Por ejemplo, A = (5a 5b 5c 5d) y A(x) = 5ax³ + 5bx² + 5cx + 5d. 

    Del mismo modo se obtiene B, que se parece al triángulo de Pascal...

    Y C convierte (a  b  c  d) en (d  c  b  a)...

    La derivación también es una transformación lineal...

    El valor numérico es una constante...

    Y con F se obtiene un cociente incremental...

    Calcula las matrices 4x4 que nos dan los polinomios Q(x) y R(x), cociente y resto de la división de P(x) entre x²+1.

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso hizo primero la división...

    Y luego escribió las matrices correspondientes al cociente...

    Y al resto...