667. Las derivadas sucesivas. RESOLUCIÓN

    Pepe Chapuzas resolvió la derivada n-ésima de f(x) = 1/x:

    Mire, profe...

f(x) = 1/x

f'(x) = –1/x²

f''(x) = 2/x³

f'''(x) = –6/x⁴

f^[n](x) = cos(nπ)n!/xⁿ⁺¹ 

    (Obsérvese que cos(nπ) = (–1)ⁿ.)

    Demuestra por inducción la fórmula de esta derivada n-ésima.
    Busca una fórmula para la derivada n-ésima de g(x) = senx.

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla comprobó que la fórmula valía para el caso n=0... (La derivada 0-ésima es la propia función: f(x) = cos(0π)·0!/x⁰⁺¹ = 1/x.)

    Mire, profe. Si f^[n–1](x) = cos((n–1)π)(n–1)!/xⁿ, entonces... 

f^[n](x) = (f^[n–1])'(x) =

= –n·cos((n–1)π)(n–1)!/xⁿ⁺¹ =

= cos(nπ)n!/xⁿ⁺¹

    Para la función g(x) tenemos un comportamiento cíclico:

g(x) = senx

g'(x) = cosx

g''(x) = – senx

g'''(x) = – cosx

g''''(x) = senx

    Por lo que la derivada n-ésima se puede escribir al estilo de Pepe Chapuzas... 

g^[n](x) = cos(nπ/2)senx + sen(nπ/2)cosx = sen(x+nπ/2).

    Encuentra una fórmula para la derivada n-ésima del producto de dos funciones: (f·g)^[n].

RESOLUCIÓN

    Siempre comento en clase la controversia sobre el descubrimiento del cálculo infinitesimal (Newton versus Leibniz)... Yoyó Peluso recordó esto cuando le sorprendió el paralelismo entre la fórmula de la derivada n-ésima del producto de dos funciones (Leibniz) y la del desarrollo de una potencia de un binomio (Newton)... 

    Mire, profe... 

(f·g)' = f'·g + f·g'

(f·g)'' = f''·g + 2·f'·g' + f·g"

(f·g)''' = f'''·g + 3·f''·g' + 3·f'·g'' + f·g'''

(f·g)'''' = f''''·g + 4·f'''·g' + 6·f''·g'' + 4·f'·g''' + f·g''''