996. Esferoides... RESOLUCIÓN

    Como aplicación de la integral definida estábamos calculando volúmenes de sólidos de revolución. Pepe Chapuzas puso su granito de arena:

    Profe, mire. Si giro una elipse alrededor de su eje mayor obtengo una especie de balón de rugby, pero si giro la elipse alrededor de su eje menor obtengo una especie de ovni...

    Había que llamar a estos objetos por su nombre: eran esferoides (o elipsoides de revolución). Maticé con apellidos: el primero era el esferoide oblongo y el segundo el esferoide oblato... A Pepe se le ocurrió el siguiente problemilla:

    Calcula la excentricidad de una elipse sabiendo que al girarla alrededor de sus ejes el volumen del esferoide oblato es el doble del volumen del esferoide oblongo...

    Gira y gira la elipse y calcula su excentricidad.

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla calculó dos integrales definidas para obtener los volúmenes...

    Mire, profe. Si la elipse es x²/a² + y²/b² = 1, con a>b, entonces el volumen del esferoide oblongo me sale 4πab²/3 y el del esferoide oblato 4πa²b/3. Si dividimos estos volúmenes y simplifico tengo b/a = 1/2 y por lo tanto la excentricidad de la elipse es √(1–b²/a²) = √(1–1/4) = √3 / 2.

    Calcula los volúmenes como sólidos de revolución (integrales definidas) suponiendo que el semieje menor de la elipse mide 1dm.

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso despejó y = √(1–x²/4) para calcular el volumen del esferoide oblongo, sin embargo despejó x = √(4–4y²) para el del oblato...

    Profe, el volumen del oblato es el doble del volumen del oblongo...