983. Excesos... RESOLUCIÓN

    Profe, mire. Que la suma de los ángulos de un triángulo sea 180º me raya... Verá. Si yo dibujo un triángulo en el bloc de dibujo... pues vale..., pero si trazara un triángulo en el suelo..., quiero decir un triángulo grande..., muy grande..., grandísimo..., entonces el triángulo acabaría curvándose porque el planeta no es plano: ¡los lados serían curvos!... Imagínese un triángulo que tuviera un vértice en el polo norte y los otros dos en el ecuador... La suma de los ángulos de ese triángulo sería mayor de 180º... ¡Podrían ser incluso los tres ángulos rectos y entonces su suma sería 270º!

    Le hablé a Pepe Chapuzas de los triángulos esféricos. Le comenté que, si suponíamos que la Tierra fuera una esfera perfecta, los lados de ese gran triángulo serían arcos de circunferencias máximas. (Circunferencias máximas eran por ejemplo los meridianos y el ecuador.) Y que, en particular, el triángulo de tres ángulos rectos (trirrectángulo) sería un octante (y un octavo) de la superficie terrestre. Y, para terminar, añadí que la suma de los ángulos de un triángulo esférico siempre era mayor de 180º y que ese exceso (llamado exceso esférico) era proporcional al área del triángulo. (El exceso de un octante sería 270º – 180º = 90º.)
    A Pepe no le costó demasiado digerir tanta información de golpe porque ya estaba preguntando:

    ¿Cuál sería el exceso de España? Quiero decir... Si un triángulo esférico en la superficie terrestre tuviera la misma área que España, ¿cuál sería su exceso esférico?

    Calcula el "exceso de España".

SOLUCIÓN

    Se trataba de un ejercicio de búsqueda... y una regla de tres... Nina Guindilla buscó la superficie de la Tierra y la superficie de España...

    Profe, mire. Supondremos que la Tierra es una esfera. Su superficie mide 510072000km². Como la superficie de España mide 504645km², el exceso esférico valdrá 504645·720º/510072000. Este ángulo es menor que 1º, aproximadamente 42'44''25'''.

    Nina ha dividido el segundo en terceros (1'' = 60''') a la antigua usanza.
    ¿Cuál es el exceso esférico de un huso horario? ¿Y el de una zona templada? ¿Y el de un estereorradián?

RESOLUCIÓN

    Veamos cómo anda Yoyó Peluso de excesos...

    Mire, profe. El exceso de toda la esfera terrestre (ocho octantes) es 720º. Un huso horario es 1/24 de la superficie terrestre (un día tiene 24 horas), por lo que su exceso será 720º/24 = 30º. (No hay que confundir esto con la longitud que abarca el huso, que es de 15º.)
    Hay dos zonas templadas en la Tierra: una en el hemisferio norte (entre el trópico de Cáncer y el círculo polar ártico) y otra en el hemisferio sur (entre el trópico de Capricornio y el círculo polar antártico). Como la inclinación del eje de rotación de la Tierra respecto del plano de la eclíptica es 23º26' (23º27' el siglo pasado), una zona templada está comprendida entre las latitudes 23º26' y 66º34' (norte o sur). (Son ángulos complementarios.)

    El área de una zona esférica es 2pRH donde R es el radio de la esfera y H es la altura de la zona. La Tierra no es una esfera así que tomamos como aproximación el radio medio R = 6371km, y H = 6371·(sen66º34'–sen23º26') = 3312km. Por lo tanto el área de la zona es 2·3,14159·6371·3312 = 132580000km² y el exceso esférico 132580000·720º/510072000 = 187º9' aproximadamente...
    Un estereorradián es el equivalente tridimensional del radián. Es un ángulo sólido que cubre una superficie en la esfera de R². Su exceso esférico medirá R²·720º/(4pR²) = 57º17'44''48''' .(Igual que un radián.)