981. Los cuadrados equilibristas. RESOLUCIÓN

    Cinco cuadrados equilibristas están en equilibrio... De pronto se dan cuenta de que hay un cuadrado y un triángulo que tienen la misma área. (Están marcados con la letra A.) ¡Demuéstralo!

    Pepe Chapuzas te reta con este reto... Resuélvelo sin perder el equilibrio...

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla tiene buen equilibrio...

    Mire, profe. Tomo como unidad de longitud el lado del cuadrado marcado con A, de ese modo solo hay que probar que el área del triángulo marcado con A es 1. 

    Nina nombró algunos lados y ángulos en la figura... Y empezó a calcular el área...

s·t·senβ / 2 =

= s·t·sen(90º–σ–τ) / 2 =

= s·t·cos(σ+τ) / 2 =

= s·t·(cosσ·cosτ–senσ·senτ) / 2 =

= s·cosσ · t·cosτ / 2 – s·senσ · t·senτ / 2 =

    Aquí aplicó los teoremas del seno y del coseno...

(s²+1–sen²α)/2 · (t²+1–cos²α)/2 / 2 – senα·sen(90º+α) · cosα·sen(180º–α) / 2

(s²+cos²α)/2 · (t²+sen²α)/2 / 2 – senα·cosα · cosα·senα / 2

 (s²+cos²α) · (t²+sen²α) / 8 – sen²α·cos²α / 2 

    Y ahora el teorema del coseno para s² y t²...

(1–2·senα·cos(90º+α)+sen²α+cos²α)·(1–2·cosα·cos(180º–α)+cos²α+sen²α)/8 – sen²α·cos²α/2

(1+2·senα·senα+1)·(1+2·cosα·cosα+1)/8 – sen²α·cos²α/2

(2+2·sen²α)·(2+2·cos²α)/8 – sen²α·cos²α/2

(1+sen²α)·(1+cos²α)/2 – sen²α·cos²α/2

( 1 + sen²α + cos²α + sen²α·cos²α – sen²α·cos²α ) / 2

(1+1+0)/2

1

    Nina tiene otro reto de cuadrados equilibristas...

   ¡Más difícil todavía! Cuatro cuadrados equilibristas intentan hacer un equilibrio que parece imposible. ¡Están unidos por cuatro vértices formando una cadena!... Para ayudarse en el ensayo cada pareja de cuadrados opuestos se ha unido con una goma elástica roja enganchada en sus centros... De pronto se percatan de que las dos gomas siempre tienen direcciones perpendiculares... y tienen la misma longitud...

    Nina Guindilla ha ilustrado un sorprendente resultado conocido como teorema de Van Aubel...   

    Busca un enunciado y una demostración de este teorema y nos lo cuentas a todos...

SOLUCIÓN

    Aquí está el enunciado del Teorema de Van Aubel que ha proporcionado Yoyó Peluso:

    Si un cuadrilátero tiene un cuadrado adosado a cada lado, entonces los centros de los cuatro cuadrados son vértices de un cuadrilátero equidiagonal y ortodiagonal.

    El enunciado de este teorema se entendía bien con el ejemplo de los cuadrados equilibristas de Pepe Chapuzas...

    Para la demostración, Nina relacionó este teorema con un bonito resultado de dos cuadrados equilibristas...

    Si ABCD y DEFG son dos cuadrados, K y L sus centros, y M y N los puntos medios de los segmentos AG y CE, entonces el cuadrilátero LMKN es un cuadrado. (Los vértices de los cuadrados se han nombrado en sentido horario.)

    Nina dibujó cuatro triángulos naranjas y cuatro puntos azules, y se limitó a decir...

    Mire, profe. Los puntos azules indican ángulos rectos y puntos medios de segmentos... Buscando semejanzas de triángulos se descubre que los triángulos naranjas son igualitos... y por lo tanto el cuadrilátero LMKN es un cuadrado.

    Ahora le tocaba el turno al teorema de Van Aubel...

     Si trazamos los segmentos azules y sus puntos medios, por el resultado anterior, los cuadriláteros lilas son cuadrados. Por lo tanto, los triángulos MAD y MBC son igualitos... y por lo tanto los segmentos AD y BC tienen la misma longitud y son perpendiculares...

    Para dejarnos con un buen sabor de boca, Yoyó Peluso comentó el teorema de Thébault era una consecuencia del teorema de Van Aubel...

    Mire, profe. Si adosamos cuatro cuadrados a los lados de un paralelogramo, entonces los centros de esos cuadrados son vértices de otro cuadrado...