655. Suma de cubos. RESOLUCIÓN

    Había propuesto un reto de fin de semana que consistía en hacer la demostración de la siguiente igualdad: (1+2+3+4+5+...+n)² = 1³+2³+3³+4³+5³+...+n³. Pepe Chapuzas se valió del siguiente dibujo:

    Profe, mire. Para (1+2+3+4+5)² = 1·1²+2·2²+3·3²+4·4²+5·5² = 1³+2³+3³+4³+5³. ¿Vale esto como demostración?

    No se lo admití como demostración, claro. ¿Puedes hacer tú una demostración en condiciones?
    (Esta igualdad se conoce con el nombre de teorema de Nicómaco.)

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla intentó demostrar la igualdad por inducción...

    Mire, profe. La igualdad es obviamente cierta para el caso n = 1 porque 1²  = 1³. Si suponemos cierto el caso n, entonces ...

((1+2+3+4+5+...+n)+(n+1))² =

= (1+2+3+4+5+...+n)² + 2(1+2+3+4+5+...+n)(n+1) + (n+1)² =

= 1³+2³+3³+4³+5³+...+n³ + n(n+1)² + (n+1)² =

= 1³+2³+3³+4³+5³+...+n³ + (n+1)³

    Muy bien... Nina se ha dado cuenta de que la suma de los primeros números naturales es un número triangular...
    ¿Podrías demostrar la igualdad sin inducción?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso partió de la suma de cubos: 0³+1³+2³+3³+4³+...

    Mire, profe. Nina empezó su demostración empezando en 1 pero podía haber empezado con 0 ya que 0² = 0³. El caso es que estas sumas de cubos conforman una sucesión polinomial de cuarto grado (por tratarse de sumas de términos consecutivos de una sucesión polinomial de tercer grado). Podemos determinar su término general calculando las diferencias sucesivas ...

0   1   8   27

1   7   19

6   12

6

    Así, tenemos...

0³+1³+2³+3³+4³+5³+...+(n–1)³ =

= 6n(n–1)(n–2)(n–3):24 + 6n(n–1)(n–2):6 + n(n–1):2 =

= n(n–1) · ( (n–2)(n–3) + 4(n–2) + 2 ) : 4 =

= n(n–1) · (n²–5n+6+4n–8+2) : 4 =

= n(n–1)·(n²–n):4 =

= ( n(n–1):2 )² =

= (0+1+2+3+4+5+...+(n–1))²