938. El criterio del 11. RESOLUCIÓN

    Estábamos repasando en clase los criterios de divisibilidad y como ejemplo había que comprobar que 5786 era un múltiplo de 11. Algunos alumnos no se acordaban del criterio del 11 y dividieron directamente 5786 entre 11.

    Los que sí se acordaban del criterio hicieron más o menos lo siguiente:

    Pepe Chapuzas se complicó un poco intentando justificar por qué funcionaba así el criterio del 11. En su cuaderno escribió la siguiente chapuza...

    Leamos despacito el número 5786.
    Cinco mil, setecientos, ochenta, y seis...
    O sea, 5000 + 700 + 80 + 6.
    O sea, 5·1000 + 7·100  + 8·10 + 6.
    O sea, 5·10³ + 7·10² + 8·10 + 6.
    Y si escribimos ahora 10 como los romanos ( 10 = x )
    tenemos 5x³ + 7x² + 8x + 6. ¡Un polinomio! 
    Y también 11 = 10 + 1 = x + 1.
    Así que la división 5786 : 11 se convierte en
    la división de polinomios ( 5x³ + 7x² + 8x + 6 ) : ( x + 1 ).
    Y por el teorema del resto, el resto de esta división será
    5·(–1)³ + 7·(–1)² + 8·(–1) + 6 = – 5 + 7 – 8 + 6 = 0
    que no es otra cosa que el criterio del 11.

    Todo parecía cuadrar... pero a Pepe se le había olvidado que al aplicar el criterio del 11 el resultado no tiene por qué ser 0 sino que puede ser 11 o un múltiplo de 11. ¿Puedes arreglar y terminar esta chapuza de Pepe?
    ¿Cómo se podría aplicar el criterio del 11 con la regla de Ruffini?
    ¿Cuál es el menor múltiplo (natural) de 11 para el que el resultado de aplicar el criterio es 11?
    ¿Y cuáles son los menores múltiplos (naturales) de 11 para los que el resultado de aplicar el criterio es 22, 33, 44...?
    ¿Te atreves a justificar el criterio del 9 al estilo de Pepe Chapuzas?

SOLUCIÓN

    Profe, 209 es el número más pequeño para el que el resultado de aplicar el criterio del 11 es 11. Está claro que no es lo mismo dividir números que polinomios, pues mientras que el resto de dividir 209 entre 11 es 0, el resto de dividir 2x² + 9 entre x + 1 es 11. El teorema del resto me permitiría aplicar el criterio del 11 con la regla de Ruffini...

    El criterio del 9 es parecido al del 11. Se podría hacer con la regla de Ruffini pero ahora dividiendo entre x – 1 (que según Pepe sería 10 – 1  = 9). Probar que 243 es divisible entre 9 con la regla de Ruffini sería...

    Nina Guindilla no nos ha dicho cuáles son los múltiplos (naturales) menores para los que el resultado de aplicar el criterio del 11 es, 22, 33, 44, etc. ¿Lo investigas?

RESOLUCIÓN

    ¡Yo lo investigo, profe!

    Se apresuró Yoyó Peluso para que nadie se le adelantara:

    El menor número que da 22 al aplicar el criterio del 11 es 40909.
    El menor número que da 33 al aplicar el criterio del 11 es 6090909.
    El menor número que da 44 al aplicar el criterio del 11 es 809090909.
    El menor número que da 55 al aplicar el criterio del 11 es 1090909090909.
    El menor número que da 66 al aplicar el criterio del 11 es 309090909090909.
    El menor número que da 77 al aplicar el criterio del 11 es 50909090909090909.
    El menor número que da 88 al aplicar el criterio del 11 es 7090909090909090909.
    El menor número que da 99 al aplicar el criterio del 11 es 909090909090909090909.