894. En busca de la fórmula. RESOLUCIÓN

    La última clase la habíamos dedicado a la búsqueda de fórmulas. Los alumnos tenían que buscar o inventar problemas cuyas soluciones no fueran números sino fórmulas. Este es el que propuso Pepe Chapuzas...

    Este triángulo no se ha podido dibujar entero porque es muy grande... Está formado por muchas filas... Exactamente N filas. ¿Cuánto vale la suma de todos los números del triángulo?

    Obtén una fórmula que dependa de N y envíamela explicando cómo la has hallado.

SOLUCIÓN

    Mire, profe. En la fila N-ésima aparece N veces el número 2^N–1. Empecé sumando las filas y no llegué demasiado lejos, así que empecé a sumar columnas...

    En cada columna tenemos los términos de una progresión geométrica de razón 2, por lo que su suma es coser y cantar...

(2^N–1)+(2^N–2)+(2^N–4)+...+(2^N–2^N–1) = N·2^N–(2^N–1) = (N–1)·2^N+1.

    Nina Guindilla encontró la fórmula... Pero además justificó la fórmula de la suma de términos de una progresión geométrica... con la regla de Ruffini:

    ¿Cuánto vale el producto de todos los números del triángulo?

RESOLUCIÓN

    Para este cálculo, Yoyó Peluso sí fue multiplicando por filas... Estaba multiplicando potencias de potencias de 2...

    Mire, profe: (2⁰)¹·(2¹)²·(2²)³·(2³)⁴·...·(2^N–1)^N = 2^{0·1+1·2+2·3+3·4+...+(N–1)·N} = 2^{(N–1)·N·(N+1):3}

    Yoyó supo calcular el último exponente porque se trataba de una sucesión polinomial... No dijo cómo lo había conseguido... solo lo justificó por inducción...

    Si N=1 el exponente es 0 evidentemente.
    Si suponemos cierto el exponente (N–1)·N·(N+1):3 para el caso N...

    En el caso N+1 tendremos el exponente

(N–1)·N·(N+1):3 + N·(N+1) = N³:3–N:3+N²+N = (N³+3N²+2N):3 = N·(N+1)·(N+2):3