893. ¡A volar! RESOLUCIÓN

    El último día de clase Pepe Chapuzas llegó a emocionarme...

    Profe. ¡Gracias por enseñarme a volar!

    Le devolví el cumplido comentándole que era muy fácil enseñar a volar a los chicos que nacen con alas... Se despidió con un regalo de los suyos: un problemita de Geometría...

    Si la suma de las áreas de los círculos anaranjados es 1 metro cuadrado, ¿cuál es el área del círculo verde?

    Es más fácil de lo que parece. Al fin y al cabo es un regalo...
    ¡Echa a volar!

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla nació con alas... de mariposa. Mirad cómo vuela alto y deprisa...

    Profe, mire. Como hay 10 círculos naranjas iguales, cada círculo tiene un área de 10 dm²
y por lo tanto un radio de √(10/π) dm. Los centros de los círculos naranjas son los vértices de un decágono regular, con lo que el radio del decágono medirá

√(10/π)·cosec18º = √(10/π)·(√5+1).

    Y el radio del círculo verde medirá

√(10/π)·(√5+1) – √(10/π) = √(10/π)·√5.

    Y por lo tanto el área del círculo verde medirá

π·(√(10/π)·√5)² = 50 dm².

    ¡El área verde es la mitad del área naranja!

    Justifica todos los pasos (o aleteos) de Nina.

RESOLUCIÓN

    A Yoyó Peluso le llamó la atención ver el valor exacto (con radicales) de cosec18º = √5+1, entre otras cosas porque la cosecante era una razón trigonométrica que apenas utilizaba... Para remediarlo confeccionó la siguiente tabla de valores exactos de cosecantes:

cosec15º = √6+√2

cosec18º = √5+1

cosec30º = 2

cosec45º = √2

cosec54º = √5–1

cosec60º = √12/3

cosec75º = √6–√2 

cosec90º = 1