885. El regalo de la caja. RESOLUCIÓN

    Pepe Chapuzas trajo una caja al instituto... pero no tenía ningún regalo en su interior. De hecho no tenía "interior" porque era un ortoedro "macizo". El "regalo" consistía en la propia "caja"... Se trataba de uno de sus ya famosos retos...

    Esto que traigo es un ortoedro cuyas dimensiones (alto, ancho y largo) están en progresión geométrica. Su volumen es de 8 decímetros cúbicos y su superficie es de 32 decímetros cuadrados. ¿Cuánto suman las longitudes de sus aristas? (Por supuesto en decímetros lineales).

    Acepta el regalo de Pepe y regálanos la solución.

SOLUCIÓN

    Para Nina Guindilla, el ladrillo de Pepe era lo menos parecido a un regalo...

    Profe, mire. Si las dimensiones están en progresión geométrica, entonces una de ellas, el término central, medirá 8^1/3 = 2dm. Y si R es la razón de la progresión las otras dimensiones medirán 2·R y 2:R. La superficie del ladrillo es 2·2·2·R+2·2·2:R+2·2·R·2:R = 32dm². Multiplicando por R y dividiendo por 8 tenemos la ecuación de segundo grado R²–3R+1=0. Como el coeficiente principal y el término independiente coinciden las soluciones son inversas, (3+√5)/2 y (3–√5)/2, y me dan las otras dimensiones del ortoedro, 3+√5 y 3–√5. La suma de las longitudes de las aristas será por lo tanto 4·(3+√5)+4·2+4·(3–√5) = 32dm.

    Comprueba que las soluciones de Nina son inversas. Demuestra que en una ecuación de segundo grado, si el coeficiente principal y el término independiente coinciden entonces las soluciones son inversas.

RESOLUCIÓN

    Para comprobar que las soluciones eran inversas Yoyó Peluso solo tenía que multiplicarlas:

    (3+√5)/2 · (3–√5)/2 = (9–5)/4 = 1.

    Mire, profe. Las soluciones de una ecuación de la forma Ax²+Bx+A = 0 son

(–B+√(B²–4A²))/(2A) y (–B–√(B²–4A²))/(2A)

    Si las multiplicamos tenemos

(–B+√(B²–4A²))/(2A) · (–B–√(B²–4A²))/(2A) =

= (B²–B²+4A²)/(4A²) = 1

    Al revés, si S y 1/S son las soluciones de una ecuación de segundo grado, será

A·(x–S)·(x–1/S) = 0

Ax²–(AS+A/S)x+A = 0

    Y el coeficiente principal y el término independiente coinciden...
    Pero todavía tengo que decir algo... En la ecuación de segundo grado Ax²+Bx+A = 0, A no puede ser 0, y por lo tanto x tampoco puede ser 0. Si sustituyo x por 1/x obtengo la ecuación A/x²+B/x+A = 0, y si multiplico por x² consigo la ecuación equivalente A+Bx+Ax² = 0, que es la ecuación inicial. Por lo tanto las soluciones tienen que ser inversas...