883. Una distribución triangular. RESOLUCIÓN

    Cuando entré en clase vi que Pepe Chapuzas estaba explicando algo a sus compañeros en la pizarra. Dejé que terminara. (A Pepe le encanta ser el profe aunque sea por unos minutos.) Acabó proponiendo el siguiente ejercicio...

    La gráfica de la función de densidad de una variable estadística continua determina con el eje de abscisas un triángulo (de área 1 obviamente) como en este dibujo.

    Comprueba que el rango medio de la distribución es la abscisa del circuncentro del triángulo.
    Comprueba que la moda de la distribución es la abscisa del ortocentro del triángulo.
    Comprueba que la media de la distribución es la abscisa del baricentro del triángulo.
    Calcula la mediana de la distribución.

    Resuélvelo y me mandas la solución.

SOLUCIÓN

    Profe, mire. Si los vértices del triángulo son A(a,0), B(b,0) y C(c,d), con a<c<b, entonces el área del triángulo mide (b–a)·d:2 = 1, por lo que d = 2:(b–a).

    a) El circuncentro de un triángulo es la intersección de sus mediatrices. El lado AB es un segmento horizontal por lo que su mediatriz es una recta vertical que contiene al circuncentro, así que la abscisa del circuncentro cae en el punto medio de AB, es decir, en (a+b):2, el rango medio de la distribución.
    b) El ortocentro de un triángulo es la intersección de sus alturas. La altura correspondiente al lado AB es una recta vertical que pasa por el vértice C, que es el punto donde la función de densidad alcanza su máximo, por tanto, la abscisa del ortocentro (y del vértice) cae en c, la moda de la distribución.
    c) Si f es la función de densidad de la distribución triangular, se tiene que f(x) = 0 si x no está en el intervalo (a,b), por lo que la media (o esperanza) se calculará así...

    Por otro lado el baricentro de un triángulo es la intersección de sus medianas y es su centro de gravedad. Como el área del triángulo es 1, su abscisa será...

    ¡Es la misma integral! De todas formas las coordenadas del baricentro son muy fáciles de calcular: son las medias aritméticas de las coordenadas de los vértices, en particular, la abscisa sería (a+b+c):3.
    d) La mediana de la distribución (no confundir con las medianas del triángulo) es el percentil 50 y viene determinada por la vertical que divide el triángulo es dos partes de área 0,50. He encontrado una fórmula, mejor dicho, dos fórmulas para la mediana según el sesgo de la distribución. Si c > (a+b):2, la fórmula sería...

    ¡Nina Guindilla ha hecho un buen trabajo!
    Escribe f como una función definida a trozos. Comprueba que la integral definida del apartado c) vale efectivamente (a+b+c):3. Comprueba la fórmula de la mediana del apartado d) y obtén la fórmula para c < (a+b):2.

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso escribió la función f para poder calcular las integrales:

f(x) = 2(x–a):(b–a):(c–a)       si a<x<c

f(x) = 2(b–x):(b–a):(b–c)      si c<x<b

f(x) = 0            en cualquier otro caso
 

    Mire, profe:

    Yoyó Peluso se ha saltado cálculos intermedios..., varias simplificaciones... y hasta una división de polinomios (en el último paso)... Pero veamos cómo sigue...

    Mire, profe. Es una cuestión de áreas... Con sesgo, es obvio que la mediana M estará al mismo lado de la moda c que el  rango medio(a+b)/2. Así, con la fórmula del área de un triángulo, M cumplirá que (M–a)·f(M):2 = 0,5 si M<c pero (b–M)·f(M):2 = 0,5 si M>c. En el primer caso tenemos que (M–a)·2(M–a):(b–a):(c–a):2 = 0,5 de donde se tiene la fórmula de Nina... Y en el segundo caso (b–M)·2(b–M):(b–a):(b–c) = 0,5 de donde se obtiene esta otra fórmula: