877. Un cuadrado de colores. RESOLUCIÓN

    Pepe Chapuzas os propone este reto. Hay un positivo para el que lo resuelva...

    El triángulo amarillo es un triángulo equilátero inscrito en un cuadrado y comparte con este un vértice. El triángulo azul tiene un área de 1 metro cuadrado. ¿Qué área tiene el triángulo rojo?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla se llevó el positivo...

    Mire, profe. El triángulo azul (y el blanco) tiene los ángulos de 15º, 75º y 90º.  Si L es la longitud de su hipotenusa, su área valdrá L·sen15º·L·cos15º:2 = L²·sen30º:4 = L²:8 = 1, por lo que L = √8. L también es la hipotenusa del triángulo rojo, que es un triángulo rectángulo isósceles, por lo que su área medirá √8·√8:4 = 2 metros cuadrados.

    Justifica todos los cálculos de Nina.

RESOLUCIÓN

    Mire, profe. Los triángulos azul y blanco son simétricos y sus ángulos son fáciles de calcular, aunque es más fácil comprobar las soluciones... En el vértice común a los triángulos blanco, amarillo y azul tenemos: 15º + 60º + 15º = 90º . En el vértice común a los triángulos rojo, amarillo y azul tenemos: 45º + 60º + 75º = 180º.
    Para el área ha utilizado la fórmula ( área = cateto_opuesto · cateto_contiguo : 2 ) y la identidad trigonométrica del ángulo doble ( sen30º = sen(2·15º) = 2·sen15º·cos15º ).
    Finalmente, si juntamos 4 triángulos rojos se forma un cuadrado, y su área es obvia...

    Yoyó Peluso lo ha explicado muy bien... y se llevó otro positivo.