814. Las pelotas saltarinas. RESOLUCIÓN

    A alguien se le escapó una pelota saltarina en clase. Como curiosamente no era de nadie, quedó confiscada... Entonces propuse un ejercicio y comenté que el primero en resolverlo se quedaría con la pelota saltarina. Dicté el enunciado para que los chicos lo copiaran en sus cuadernos...

    El centro de gravedad de una pelota saltarina recorre una trayectoria parabólica. La parábola pasa por los puntos (–6,0), (0,18) y (6,0). En el punto (0,9) se encuentra el centro de gravedad de otra pelota saltarina misteriosamente inmóvil. ¿Cuál es la distancia mínima que hubo entre las pelotas saltarinas si ambas tienen de diámetro 1? (Todas las cantidades están expresadas en centímetros.)

    Fue Pepe Chapuzas el que rescató la pelota. ¿La podrías haber rescatado tú?

SOLUCIÓN

    Pues sí, Nina Guindilla podría haber rescatado la pelota saltarina...

    Mire, profe. Vamos a calcular la distancia mínima entre los centros de gravedad de las pelotas... La ecuación de la parábola se puede deducir fácilmente a partir de los 3 puntos dados en el enunciado: y = 18 – x²/2. Para evitar las raíces cuadradas, vamos a minimizar la función f que nos da el cuadrado de la distancia de un punto de la parábola (x, 18 – x²/2) al punto (0, 9), es decir, f(x) = x² + (9 – x²/2)² = x⁴/4 – 8x² + 81. La derivada f '(x) = x³ – 16x se anula en x = 0 y en x = ±4. En estos puntos críticos la segunda derivada f ''(x) = 3x² – 16 toma los valores f ''(0) = –16 < 0 (máximo relativo) y f ''(±4) = 32 > 0 (mínimos). La distancia mínima será f ^1/2(±4) = (4⁴/4 – 8·4² + 81)^1/2 = 49^1/2 = 7. Pero todavía tenemos que restar los radios de las pelotas: 7 – 1/2 –1/2 = 6 centímetros.

    Estudia los puntos críticos sin utilizar la segunda derivada. (Estudia la monotonía de f.)

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso realizó un diagrama para estudiar el signo de f' y la monotonía de f:

    Terminó comentando otra manera de calcular los valores de x:

    Mire, profe. La recta normal a la parábola que pasa por el punto  (t, 18 – t²/2)  tiene ecuación punto-pendiente  y – 18 + t²/2 = 1/t · (x – t) . Si esta recta tiene que pasar por el punto  (0, 9)  entonces

 9 – 18 + t²/2 = (0 – t) / t 

t²/2 = 8

t² = 16

t = ± 4

    De esta manera quedan algunos cabos sueltos, ¿verdad? Si los ve, el lector puede atarlos.