813. Una araña en el salón. RESOLUCIÓN

    El salón de mi casa es un ortoedro. La planta es un rectángulo de 5m por 4m. El salón tiene una altura de 3m. Una araña se aloja en el vértice A del salón, que está en el suelo, y quiere mudarse al vértice opuesto B, que está en el techo. ¿Cuál es el camino más corto?

    Recuerda que las arañas no vuelan. Resuelve este reto de Pepe Chapuzas. Espero tu respuesta.

SOLUCIÓN

    Profe, mire. La araña tiene que recorrer 2 caras del ortoedro. Hay 3 posibilidades (más otras 3 simétricas y equivalentes a las anteriores)... Si abrimos el diedro de cada pareja de caras tenemos un rectángulo:

    Para cada rectángulo la distancia más corta de A a B es la diagonal. Podemos calcularlas con el teorema de Pitágoras: √(3²+9²) = √90, √(7²+5²) = √74 y √(8²+4²) = √80.
    ¡El camino más corto es el que recorre las 2 caras más grandes!: el suelo y la pared larga (o la otra pared larga y el techo).

    Profe, si fuera una mosca la que tiene que ir de A a B volando en línea recta, la distancia recorrida sería la diagonal del ortodedro: √(3²+4²+5²) = √50, que es un número irracional. A veces la diagonal de un ortoedro de lados naturales es natural: √(1²+2²+2²) = √9 =3. Este ortoedro tiene 2 lados iguales... ¿Existe algún ortoedro de lados naturales, todos diferentes, cuya diagonal sea también natural?

 

    Investiga la cuestión planteada por Nina...

 

RESOLUCIÓN

 

    Yoyó Peluso ha encontrado infinitos ortoedros de lados naturales diferentes y con diagonal también natural...

 

    Profe, por ejemplo 3²+4²+12² = 9+16+144 = 169 = 13².