805. La gran suma. RESOLUCIÓN

    Pepe Chapuzas había resuelto un sudoku en medio recreo. En el otro medio recreo calculó la suma de todos los números naturales de 9 cifras que se pueden formar con las 9 cifras (las 9 diferentes) del sudoku (el 0 no se utiliza). Cuando empezó la clase de Mates lo propuso como reto...
    Hay un positivo para quien lo resuelva.

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla es más rápida que Pepe. ¡Solo tardo un tercio de recreo!

    Profe, mire... Hay en total 9! = 1·2·3·...·9 = 362880 números así... De ellos, 8! = 40320 terminan en 1, y otros tantos en 2, en 3, etc., por lo que la suma de las unidades de todos los números valdrá (1+2+3+...+9)·40320 = 45·40520 = 1814400. Esto mismo se puede hacer con las decenas, las centenas, etc., por lo que la suma será (1+10+100+...+100000000)·1814400 = 111111111·1814400 = 201599999798400, o sea, doscientos un billones quinientos noventa y nueve mil novecientos noventa y nueve millones setecientos noventa y ocho mil cuatrocientos. ¡Casi nada!

    El reto de Nina también jugaba con las cifras del sudoku:

    Si colocamos las 9 cifras del sudoku en los círculos de modo que 3 cifras alineadas siempre sumen la misma cantidad... ¿Qué cifra puede ir en el centro?

RESOLUCIÓN

    Veamos la respuesta de Yoyó Peluso.

    Mire, profe. La suma de las cifras del sudoku es 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45. Como la cifra del centro X participa en 4 alineaciones tenemos que 45+3·X=4·S, donde S es la suma de una alineación. Por lo que 1+3·X=4·S–44=4·(S–11), esto es, 1+3·X tiene que ser múltiplo de 4. Esto solo le ocurre a las cifras 1, 5 y 9, ya que 1+3·1=4, 1+3·5=16 y 1+3·9=28. Si X=1 entonces la suma de una alineación valdrá S=(45+3·1):4=12 y las alineaciones serán 2+1+9, 3+1+8, 4+1+7 y 5+1+6. Si X=5, entonces S=(45+3·5):4=15 y las alineaciones serán 1+5+9, 2+5+8, 3+5+7 y 4+5+6. Finalmente, si X=9, S=(45+3·9):4=18 y las alineaciones serán 1+9+8, 2+9+7, 3+9+6 y 4+9+5.