777. Doble optimización. RESOLUCIÓN

   Hemos empezado el tema de optimización y Pepe Chapuzas está entusiasmado...

    Profe, no me imaginaba las cosas que se podían conseguir con las derivadas... Para el reto de esta semana he propuesto dos ejercicios en uno: una maximización y una minimización...
    Se trata de encontrar las dimensiones de dos conos: el de mayor volumen inscrito en la esfera y el de menor volumen circunscrito en la esfera. Los conos son rectos y de base circular y la esfera tiene de radio 1 metro. Además hay que calcular los dos volúmenes.

SOLUCIÓN

    Profe, mire. Si R y H son el radio y la altura de un cono, el volumen es V(R,H) = πR²H/3. Esta es la función que hay que optimizar... Vamos a utilizar el teorema de Pitágoras en los triángulos morado y azul...

    a) En el cono inscrito, (H−1)²+R² = 1², por tanto R² = 2H−H². Entonces la función volumen queda V(H) = π(2H²−H³)/3. La derivada V'(H) = π(4H−3H²)/3 se anula si H = 4/3. La segunda derivada V''(H) = π(4−6H)/3 sale V''(4/3) = −4/3 < 0. Ahora solo tenemos que calcular el radio del cono R = √(8/3−16/9) = √8/3, y el volumen V = π·8/9·4/3/3 = 32/81·π es máximo.

    b) En el cono circunscrito, (H−1)² = 1²+(H/R)², por tanto R² = H/(H−2). Entonces la función volumen queda V(H) = πH²/(3H−6). La derivada V'(H) = π(H²−4H)/(H−2) se anula si H = 4. La segunda derivada V''(H) = (H²−4H+8)/(H−2)² sale V''(4) = 2 > 0. Solo falta calcular el radio del cono R = √2, y el volumen V = π·2·4/3 = 8/3·π es mínimo.

 

    Nina Guindilla ha ido demasiado deprisa. ¿No os parece?

    Justifica todos los pasos de Nina.

    Calcula las dimensiones de los conos para optimizar sus áreas laterales (máxima y mínima respectivamente). 

 

RESOLUCIÓN

 

    Yoyó Peluso tenía mucho trabajo adelantado con las soluciones de Nina...

 

    Profe, mire. El área lateral de un cono es A(R,G) = π·R·G donde R y G son el radio y la generatriz respectivamente. Por el teorema de Pitágoras tenemos que G² = R²+H², así que es más fácil optimizar el cuadrado del área Q(R,H) = π²·R²·(R²+H²).

    a) En el cono circunscrito tenemos Q(H) = π²·(2H–H²)·(2H) = π²·(4H²–2H³). La función derivada Q'(H) = π²·(8H–6H²) se anula para H = 4/3, que es el mismo valor que el de Nina...

    b) En el cono inscrito tenemos Q(H) = π²·H/(H–2)·(H/(H–2)+H²) = π²·(H⁴–2H³+H²)/(H–2)². La derivada Q'(H) = π²·(2H⁴–10H³+12H²–4H)/(H–2)³ se anula para H = 2+√2, que ahora es un valor diferente...