763. Cramer y el efecto mariposa. RESOLUCIÓN

    Profe, me han dicho unos de bachillerato que ellos resuelven los sistemas de ecuaciones lineales con unas fórmulas facilísimas. ¿Por qué no nos las enseña en vez de torturarnos con los métodos de reducción, igualación y sustitución?

    A Pepe Chapuzas le habían hablado de la regla de Cramer... Estábamos haciendo ejercicios de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas y accedí con gusto a su petición. Escribí en la pizarra las "fórmulas facilísimas" para estos sistemas.

    En la yincana matemática de la semana Pepe se encargó de elaborar la primera prueba... Había que resolver un sistema con la regla de Cramer y sin calculadora.

   Generalmente aproximábamos π con 3,14 o 3,1416. El equipo A lo hizo con 3,14 para ser más rápidos y el equipo B con 3,1416 para ser más exactos. Hicieron los cálculos y los revisaron a conciencia... No se habían equivocado en los cálculos, sin embargo los resultados que dieron eran disparatadamente diferentes... Pepe había puesto un ejercicio con trampa que me dio pie a comentar en clase el llamado "efecto mariposa", expresión matemática que se ha popularizado y que se utiliza en muy diversos ámbitos y para muchos eventos de la vida...

    Comprueba que, si los denominadores no se anulan, estas fórmulas de Cramer dan la solución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.
    Calcula las soluciones que obtuvieron los dos equipos. ¿Cuál de los dos equipos superó la prueba?
    Investiga qué es el efecto mariposa y cuéntanoslo.

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla había oído hablar del efecto mariposa en el cine, en la tele... 

    Profe, ¿es verdad que "el aleteo de una mariposa en Hong-Kong puede desatar una tormenta en Nueva York"?

    Le contesté que esta frase se había hecho célebre para explicar que, en muchas ocasiones, pequeñas variaciones en las condiciones iniciales pueden producir grandes variaciones en las condiciones finales... Nina calculó las dos soluciones con las fórmulas de Cramer:

    Equipo A:    
    x = –1,4411 / (3,14 – 2,18·1,4411) = 901,81
    y = 1 / (3,14 – 2,18·1,4411) = –625,78

    Equipo B:
    x = –1,4411 / (3,1416 – 2,18·1,4411) = –720550
    y = 1 / (3,1416 – 2,18·1,4411) = 500000

    Finalmente comprobó que las fórmulas de Cramer proporcionaban efectivamente las soluciones del sistema:

    Nina había hecho los cálculos aritméticos aparte... Y en los algebraicos faltaban pasos intermedios...  Comprueba que todo lo que ha hecho Nina es correcto... y da una interpretación geométrica a la disparidad de las soluciones de los equipos A y B... Haz los cálculos con una aproximación mucho mejor de π (con calculadora). ¿Qué equipo se acercó más?

    ¿En qué parte de las Matemáticas apareció inicialmente el llamado "efecto mariposa"?

RESOLUCIÓN

    Profe, mire. Las soluciones son dispares porque estamos dividiendo entre un número muy pequeño. Un pequeño error en el divisor se traduce en un error enorme en el cociente y de ahí la disparidad de las soluciones. Si tomamos el valor de π = 3,14159265359. Las soluciones salen...

    x =  –1,4411 / (3,14159265359 – 2,18·1,4411) = 269545,35
    y = 1 / (3,14159265359 – 2,18·1,4411) = –187041,39

    Geométricamente el sistema representa la intersección de dos rectas casi paralelas. Una desviación pequeña en la posición de las rectas implica una desviación enorme en la intersección...

    Finalmente, la expresión "efecto mariposa" apareció por primera vez en la Teoría del Caos...

    Yoyó Peluso se llevó un superpositivo.