762. El orden de los factores... RESOLUCIÓN

    Profe. ¿Cuántas factorizaciones puede tener un número natural?

    Me asombró que Pepe Chapuzas me hiciera semejante pregunta. Ya habíamos explicado en clase que las descomposiciones en factores primos eran únicas para cada número natural, sin contar, eso sí, el orden de los factores... Y así se lo recordé... Entonces me enseñó Pepe en su cuaderno un dibujo de lo que parecían ser naipes de una baraja...

    Mire profe. Yo ya sé que el orden de los factores no altera el producto, pero precisamente me refiero a eso, al orden de los factores, porque a veces se puede descomponer un número natural de varias maneras.

    Pepe había ilustrado las factorizaciones con unos círculos tan chapuceros que parecían aceitunas. Viéndolos era obvio: los primos no se podían descomponer (por eso eran primos), las factorizaciones de las potencias de los primos solo se podían hacer de una manera (pues todos los factores eran iguales), y las demás factorizaciones se podían obtener de varias maneras (según el orden de los factores).

    La respuesta a su pregunta inicial era "permutaciones con repetición" pero faltaba mucho para ver Combinatoria. Al margen de esto, me gustaron tanto los dibujos de Pepe que creo que los utilizaré para introducir el tema de los fractales.

    Investiga qué son permutaciones con repetición. ¿De cuántas formas se puede obtener la factorización de 42000?
    Investiga qué son los fractales. Busca una página web sobre fractales que te llame la atención. Anota su URL.
    Dibuja los naipes correspondientes a las factorizaciones de 13, 14, 15 y 16.

    Espero tu respuesta por e-mail.

SOLUCIÓN

    Estas son las respuestas de Nina Guindilla:

    a) Esta es la descomposición factorial: 42000 = 2⁴ · 3 · 5³ · 7⁴. Sumando los exponentes tenemos el número de factores: 4+1+3+4 = 12. Teniendo en cuenta el orden de los factores, las diferentes factorizaciones de 42000 serán las siguientes: PR₁₂^4,1,3,4 = 12!:4!:1!:3!:4! = 138600.
    b) Si buscamos imágenes de fractales en Google tenemos una bonita colección...
    c) Solo he dibujado los naipes. No he puesto las factorizaciones...

    Escribe tú las factorizaciones correspondientes a cada naipe...  

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso escribió las factorizaciones por detrás de cada naipe: