587. SOLUCIÓN de 287. ¡A optimizar!

    Pepe Chapuzas ha propuesto dos ejercicios de optimización. Uno de minimizar y otro de maximizar:

    Calcula las dimensiones de la pirámide de menor volumen circunscrita a un cubo de lado 10cm.

    Una esfera roja está inscrita en un cono que a su vez está inscrito en una esfera de radio 10cm. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del cono para que la esfera roja sea lo más grande posible?
 

    Resuelve los dos ejercicios. Hay dos positivos esperándote...

SOLUCIÓN

    Mire, profe. La parte es semejante al todo... Quiero decir que la pirámide pequeña que corona el cubo es semejante a la pirámide grande, por lo que sus alturas serán proporcionales a los lados de las bases: (h–10)/h = 10/l, o sea, l = 10h/(h–10). Por otro lado, el volumen de la pirámide es V = l²·h/3, así que...

V(h) = 100h³/(h–10)²/3

V'(h) = (300h²·(h–10)² – 2(h–10)·100h³)/(h–10)⁴/3 = 100h²(h–30)/(h–10)³/3

    Como h > 10, el único valor crítico es h = 30. Para valores menores la derivada es negativa y para valores mayores es positiva, por lo que se trata del volumen mínimo.

h = 30cm

l = 10·30/20 = 15cm

V = 15²·30/3 = 2250cm³

    ¡Profe, la altura de la pirámide es el triple de la altura del cubo!

    Nina Guindilla consiguió la pirámide, ahora va a por el cono...

    Profe, mire. Con el teorema de la altura (en el triángulo azul claro-oscuro) obtengo que r² = h(20–h) =20h – h², y con el teorema del cateto obtengo que g² = 20h. Como el triángulo azul claro y rosa son proporcionales, (g–r)/s = h/r, o sea...  

s = (g–r)r/h = (gr–r²)/h = (√(20h²(20–h) – h(20–h))/h = √(400–20h)–20+h

    Voy a optimizar el radio de la esfera s(h) = √(400–20h)–20+h. Derivando y anulando la derivada...

s'(h) = –10/√(400–20h) + 1

–10/√(400–20h) + 1 = 0

10/√(400–20h) = 1

√(400–20h) = 10

400–20h = 100

20h = 300

h = 15

    El valor crítico es h = 15cm. Para valores mayores la derivada es negativa y para valores menores es positiva, por lo que la esfera es máxima.

h = 15cm

r = √(15·5) = 8,66cm

g = √(20·15) = 17,32cm

s = 15·5/15 = 5cm

    ¡Profe, el radio de la esfera pequeña es la mitad del radio de la esfera grande!

    En las mismas condiciones, optimiza el área lateral de la pirámide.