574. SOLUCIÓN de 274. Un cuadrilátero especial (2ª parte)

    Profe, mire el dibujito... He leído que en cualquier cuadrilátero (azul), las bisectrices (verdes) delimitan un cuadrilaterito cíclico (inscribible en una circunferencita)...

    Interrumpí a Pepe Chapuzas para advertirle que eso no ocurría siempre... El cuadrado era un contraejemplo evidente ya que sus bisectrices concurrían en un punto: el centro del cuadrado...

    Demuestra que si las bisectrices delimitan un cuadrilaterito, este es cíclico.
    Pepe, además, ha añadido las siguientes preguntitas...
 
    ¿Cuándo el cuadrilaterito es un rectángulito?
    ¿Cuándo es un cuadradito?
    ¿Cuándo es un deltoide pequeñito (una cometita)?
    ¿Cuándo no hay cuadrilaterito?

SOLUCIÓN

    Mire, profe. Como la suma de los ángulos internos de un cuadrilátero es 360º, tenemos 2α+2β+2γ+2δ = 360º, o sea, α+β+γ+δ = 180º. El cuadrilaterito será cíclico si la suma de los ángulos azules es 180º. Como los ángulos azules también son ángulos de triángulos... El de abajo mide 180º–α–δ y el de arriba 180º–β–γ. Por lo tanto la suma de ambos será 360º–α–β–γ–δ  = 360º–180º = 180º.
    Las bisectrices del cuadrilátero no forman cuadrilaterito si el cuadrilátero es simétrico respecto de una diagonal. Esto incluye a los deltoides, rombos y cuadrados...

    Quedan tres preguntitas por responder. ¡Respóndelas! Te espera un positivo...