565. SOLUCIÓN de 265. El teorema de Carnot

    Uno de los ejercicios para casa era la demostración del teorema de Carnot. El enunciado decía que para cualquier triángulo acutángulo, la suma de las distancias del circuncentro a los lados era igual a la suma de los radios de las circunferencias inscrita y circunscrita del triángulo.

    Pepe Chapuzas encontró una preciosa demostración...

    Demuestra el teorema de Carnot y llévate un positivo.
    ¿Qué pasaría si el triángulo no fuera acutángulo?

SOLUCIÓN

    Veamos la demostración que nos ha proporcionado Nina Guindilla...

    El área del triángulo se puede descomponer en tres: Ar/2 + Br/2 + Cr/2 = (A+B+C)r/2.

    Por otro lado, también se puede descomponer de esta otra manera: Aa/2 + Bb/2 +Cc/2, por lo tanto, con lo de antes, r = (aA + bB + cC)/(A+B+C).

    Y así también se puede descomponer: en tres cuadriláteros cíclicos (son cíclicos porque los ángulos opuestos suman 180º). Podemos aplicar el teorema de Tolomeo y... 

RA/2 = bC/2 + cB/2,

RB/2 = aC/2 + cA/2 y

RC/2 = aB/2 + bA/2.

    Sumando y despejando... queda, R = (bC + cB + aC + cA + aB + bA)/(A+B+C).
    Finalmente, sumando las igualdades subrayadas tenemos:

r+R = (aA+aB+aC+bA+bB+bC+cA+cB+cC)/(A+B+C) = a+b+c.

 

    Nina ha dejado el caso en el que el circuncentro no se halla dentro del triángulo como ejercicio para los demás...