564. SOLUCIÓN de 264. Ceva y las cevianas

    Mandé a mis alumnos buscar biografías de matemáticos célebres y Pepe Chapuzas eligió a Giovanni Ceva. Y de paso habló de las cevianas y del teorema de Ceva...

    En un triángulo, una ceviana es una recta que pasa por un vértice pero no por dos.

    El teorema de Ceva afirma que tres cevianas (una por vértice) son concurrentes en un punto interior del triángulo si y solo si se cumple la igualdad abc=xyz. (Ver dibujo.)

    Solo añadí que el teorema se puede generalizar para cevianas concurrentes en un punto exterior.

    Demuestra, utilizando el teorema de Ceva, que las medianas, las bisectrices, las alturas y las mediatrices de un triángulo acutángulo concurren, respectivamente, en el baricentro, el incentro, el ortocentro y el circuncentro. (¡Ojo! Las medianas, las bisectrices y las alturas son cevianas pero las mediatrices ¡no!)

    SOLUCIÓN

    Nina Guindilla no hizo lo que se pedía... sino que intentó demostrar el teorema de Ceva... ¿En qué estaría pensando Nina? La realidad es que a Nina no le gusta utilizar un resultado si no ha visto antes su demostración...


(Los puntos indican ángulos rectos.)

    Sean M, V y N las áreas de los triángulos marrón, verde y naranja respectivamente... Si dos triángulos comparten la base, sus áreas serán proporcionales a sus alturas (ya que área = base · altura / 2). Con esto y el teorema de Tales tenemos:

N/V = A/X = a/x      por lo que     aV = xN

M/N = B/Y = b/y      por lo que     bN = yM

V/M = C/Z = c/z      por lo que     cM = zV

    Multiplicando las tres igualdades de la derecha nos queda:

abcMVN = xyzMVN      por lo que     abc= xyz.

 

    Falta por demostrar el recíproco... (Si abc=xyz, las cevianas concurren.)
    Completa la demostración...
    Comprueba que la demostración es válida si la intersección de las cevianas cae fuera del triángulo.
    Busca el teorema de Ceva en forma trigonométrica (con demostración).
    Busca el teorema de Menelao (con demostración).

    Que las medianas de un triángulo son concurrentes es evidente ya que a=x, b=y y c=z... Haz ahora lo que no ha hecho Nina: comprueba que las alturas, bisectrices y mediatrices de un triángulo concurren.