494. SOLUCIÓN de 194. En busca de la fórmula

    La última clase la habíamos dedicado a la búsqueda de fórmulas. Los alumnos tenían que buscar o inventar problemas cuyas soluciones no fueran números sino fórmulas. Este es el que propuso Pepe Chapuzas...

    Este triángulo no se ha podido dibujar entero porque es muy grande... Está formado por muchas filas... Exactamente N filas. ¿Cuánto vale la suma de todos los números del triángulo?

    Obtén una fórmula que dependa de N y envíamela explicando cómo la has hallado.

SOLUCIÓN

    Mire, profe. En la fila N-ésima aparece N veces el número 2^N–1. Empecé sumando las filas y no llegué demasiado lejos, así que empecé a sumar columnas...

    En cada columna tenemos los términos de una progresión geométrica de razón 2, por lo que su suma es coser y cantar...

(2^N–1)+(2^N–2)+(2^N–4)+...+(2^N–2^N–1) = N·2^N–(2^N–1) = (N–1)·2^N+1.

    Nina Guindilla encontró la fórmula.
    ¿Cuánto vale el producto de todos los números del triángulo?