385. SOLUCIÓN de 85. El número de Dios y el número del diablo

    Había mandado hacer un trabajo sobre el número de oro, también llamado el número de Dios, que es una constante que se encuentra con frecuencia en la naturaleza y en el arte, y por supuesto en las Matemáticas. Su nombre es Φ (se lee fi) y su valor aproximado es Φ = 1,618... Hay mucho material para buscar: hay mucha información en Internet y hay libros de divulgación enteros dedicados a este número..., así que los alumnos hicieron un buen trabajo. Pepe Chapuzas incluyó en el suyo una curiosa relación entre el número de oro y el número de la bestia, el 666, también conocido como el número del diablo, aunque no hizo ninguna demostración.

    Haz una demostración. Para ello no valen aproximaciones ni calculadoras. Tienes que buscar una definición o una expresión exacta para Φ, y una relación geométrica con el ángulo de 666º.

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla vio que Φ aparecía en tantos sitios que no sabía por dónde empezar... así que empezó por el ángulo de 666º...

    Profe, mire. El ángulo de 666º es un ángulo impropio porque es mayor que 360º, por lo tanto sen 666º = sen (666º–360º) = sen 306º. El ángulo de 306º es un ángulo del cuarto cuadrante porque es mayor que 270º y menor que 360º, por lo tanto sen 306º = –sen (360º–306º) = –sen 54º. El ángulo de 54º me da la primera pista: está relacionado con el pentágono regular...

    El número Φ también está relacionado con el pentágono regular: es la razón áurea o razón entre la diagonal y el lado del pentágono regular...

    Relacionando los dos datos anteriores tenemos que sen 54º = Φ/2, por lo tanto sen 666º = –Φ/2 y por lo tanto tenemos Φ = –2·sen 666º, que es lo que había que demostrar.

    Teniendo en cuenta que en el siguiente dibujo los triángulos lila y naranja son semejantes, obtén el valor exacto (con radicales) de Φ.

384. SOLUCIÓN de 84. El triángulo de Pingala

    Profe, el año pasado nos explicaron el triángulo de Tartaglia y este año nos han hablado del triángulo de Pascal... ¡Y es el mismo triángulo! ¡Qué manera de confundir al personal...!

    El que replicaba era, como no, Pepe Chapuzas. Le comenté que Pascal popularizó el famoso triángulo pero Tartaglia lo usó antes. Y antes Yang Hui, y antes aún Khayyam. Por eso, el triángulo es, en Francia, de Pascal, en Italia, de Tartaglia, en China, de Yang Hui, y en Irán, de Khayyam... Pero en realidad Pingala ya lo conocía muchísimo antes en la India. Le dije que quizá debiera llamarse triángulo de Pingala... A Pepe le gustó el nuevo nombre porque empezó a utilizarlo en seguida (aunque solo entre nosotros, claro)...

    Profe, en el triángulo de Pingala están los números triangulares: 1, 3, 6, 10, 15, 21...

     Pepe me enseñó su cuaderno: había hecho una "demostración" gráfica de que n sobre 2 era un número triangular... Le dije que el triángulo de Pingala contenía también los números tetraédricos: 1, 4, 10, 20, 35, 56... Le aclaré que estos eran la versión tridimensional de los números triangulares. Entonces le pedí que "demostrara" que n sobre 3 era un número tetraédrico, y... ¡ya lo creo que lo consiguió!
    Atrévete a "demostrarlo" tú también.

SOLUCIÓN
 

    Nina Guindilla hizo números tetraédricos con imanes... Como los tetraedros que construía se podían deformar (torcer, inclinar), la "demostración" no tardó en materializarse:

    Profe, mire. La "demostración" de Pepe con los números triangulares está bien..., pero para los números tetraédricos hay que hacer un auténtico puzle tridimensional... Si Pepe partió de un cuadrado (n²), yo parto de un cubo (n³), aunque este paso se (y me) lo podría haber ahorrado:

    En primer lugar tengo que añadir 2 veces n (azul y verde):

    A continuación suprimo 3 veces n² (morado, rojo y naranja):

    Y finalmente divido en 6 partes iguales (amarillo/marrón) que son números tetraédricos:

    ¡Bravo por Nina!

    ¿Qué otras cosas descubrió Pingala? ¿Cómo murió Pingala? Espero tu respuesta...

383. SOLUCIÓN de 83. Un interés continuo

    Profe, entiendo el interés simple porque no es otra cosa que la fórmula del aumento. Si C es el capital inicial, R es el rédito anual y T es el tiempo en años, entonces tenemos para el capital final: C·(1+R·T).
    También entiendo el interés compuesto porque no es otra cosa que varios aumentos sucesivos: C·(1+R)^T si la capitalización es anual.
    Y entiendo que el período de capitalización sea menor que un año. Para N períodos en un año tendremos: C·(1+R/N)^N·T. Así, si la capitalización es mensual, el rédito mensual sería R/12 y el tiempo en meses sería 12·T. (Lo que no deja de ser una chapuza eso de medir el tiempo por meses ya que no todos los meses duran lo mismo).
    Pero yo creo que el interés debe capitalizarse inmediatamente, en períodos de capitalización infinitésimos (infinitamente pequeños). En tal caso habría infinitos períodos, ¿verdad? Y... ¿no es esto un límite?

    Pepe Chapuzas había resuelto solito el problema del interés continuo...
    ¡Ojo! La calculadora da para el número e la aproximación 2,718281828... pero, a pesar de las apariencias, e no es un número racional.

    Si un banco te ofreciera, por un depósito anual, un interés continuo del 8% (es decir, R = 0,08) entonces... ¿Cuál sería la tasa anual equivalente (TAE)?
    (Si te ocurriera de verdad, dime de qué banco se trata).

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla no se fía de ningún banco...

    Profe, mire. TAE es tasa anual equivalente, por lo tanto T = 1 año y será 1 + TAE = e^0,08, es decir, TAE = e^0,08 – 1 = 0,83287 = 8,3287%.

    Si la tasa anual equivalente fuera del 10%, ¿cuál sería el rédito si el interés fuera continuo?

382. SOLUCIÓN de 82. Vamos a contar mentiras...

    Como el autocar de la excursión "iba despacio" los chicos empezaron a "contar mentiras". Las mentiras de Pepe Chapuzas tardaron en descubrirse:

    He recibido un valioso regalo. Se trata de un libro antiguo. Al hojear el libro descubrí cinco pétalos de rosa secos entre las páginas 19 y 20. Imaginé que las páginas para guardar los pétalos no habrían sido elegidas al azar, sino que habría algún misterioso motivo. Quizá era el año de algún evento importante: 1920. No sé... Más adelante descubrí que faltaba una hoja. Había sido arrancada de cuajo por lo que las páginas 222 y 223 no podían leerse. Era una lástima. ¿Quién habría sido?...

    Al final, los chicos descubrieron dos mentiras muy gordas en el relato de Pepe. Descúbrelas tú ahora que vamos despacio...

SOLUCIÓN

    Profe, mire. Las páginas 19 y 20 son páginas de la misma hoja y es imposible meter nada entre ellas, y las páginas 222 y 223 son páginas de distintas hojas: basta abrir un libro para darse cuenta de que las páginas pares quedan a la izquierda y las impares a la derecha...

    Nina Guindilla ha descubierto las mentirijillas... Por cierto, tengo un libro cuya hoja central está manchada y no se ven los números de sus páginas. ¿Podría tener mi libro una cantidad total de páginas que fuera un múltiplo de 12?

381. SOLUCIÓN de 81. El falso exponente

    Profe, mire. Primero nos dicen que  cos ²  es una potencia, es decir, que  cos ²x = (cos x) ² , y después nos dicen que en las calculadoras  cos ^–1  no es una potencia porque  cos ^–1x = arccos x  en vez de  1/cos x = sec x . La verdad, profe, ¡cuando hay chapuzas en Mates...! A todo esto, ¿qué sería  cos ^–3 ?

    Cuando Pepe Chapuzas tiene razón hay que dársela. Este es un ejemplo claro de una notación ambigua que es difícil de enmendar. Algunas veces se utiliza la notación  f *  en vez de  f ^–1  para evitar confusiones, y otras veces se emplea la denominación de función recíproca en vez de función inversa por la misma razón, pero el peso de la tradición...
    Calcula las funciones recíprocas de las siguientes funciones:

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla calculó las recíprocas...

    Sustituyendo la "x" por la "y" y la "y" por la "x" y despejando la "y"... 

    a) Vamos con la función f:

        f(x) = (3x–2)/(2x–3);

        y = (3x–2)/(2x–3); 

        x = (3y–2)/(2y–3), intercambiando x por y;

        x(2y–3) = 3y–2; 

        2xy–3x = 3y–2; 

        2xy–3y = 3x–2; 

        y(2x–3) = 3x–2; 

        y = (3x–2)/(2x–3); 

        f*(x) = (3x–2)/(2x–3). ¡Es una función autorrecíproca!

    b) Vamos con la función g:

        g(x) = √(x√(x√x)) = x7/8;

        y = x7/8;

        x = y7/8, intercambiando x por y;

        y = x8/7;

        g*(x) = x8/7. ¡Los exponentes son inversos!

    c) Vamos con la función h:

        h(x) = 10^(10^x);

        y = 10^(10^x);

        x = 10^(10^y), intercambiando x por y;

        log x = 10^y;

        log log x = y;

        h*(x) = log log x. ¡Un logaritmo compuesto consigo mismo!

    Comprueba que f(f(x)) = x. 

    Comprueba que la gráfica de f es simétrica respecto de la recta y = x.

    ¿Están relacionados los dos hechos? 

380. SOLUCIÓN de 80. El número más matemático

    Pepe Chapuzas estaba en pleno debate. Se discutía qué número era el más matemático. Yo no sabía que los números se pudieran comparar así pero Pepe defendía que el número más matemático era el 51, aunque las razones que esgrimía no eran precisamente muy matemáticas...

    Profe, mire. En todas la bibliotecas que conozco (y conozco bastantes) las signaturas de los libros de Matemáticas empiezan por 51. Por lo tanto el 51 es el número más matemático.

    Estaba claro qué tipo de libros buscaba Pepe en las bibliotecas. Las signaturas de los libros vienen determinadas por la clasificación decimal universal (CDU). A las Matemáticas generales le corresponde el número 51 como ha dicho Pepe. Pero para las Matemáticas especializadas tenemos los números 511, 512, 514, 515, 517 y 519. Busca a qué rama de las Matemáticas corresponde cada uno de ellos y nos lo comentas.

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla se paseó por la biblioteca pública y localizó la estantería 51... ¡Ahí estaban los libros de Matemáticas! Y los estantes 511 = Aritmética, 512 = Álgebra, 514 = Geometría, 515 = Topología, 517 = Análisis y 519 = Combinatoria, Probabilidad y Estadística... Nina tiene un reto:

    ¿Cuál es el número más histórico? ¿Y el más químico? ¿Y el más político?

    Solo os puedo decir que son números de 2 cifras...

379. SOLUCIÓN de 79. La compleja realidad

    Todos los años pasa lo mismo. Los números complejos levantan muchas sospechas de falsedad. Los alumnos afrontan el tema con escepticismo e incredulidad. Aprenden a operar con ellos pero los resultados se quedan en el apartado de lo ficticio o especulativo... Pepe Chapuzas no iba a ser menos.

    Profe, esto de trabajar con cosas que se suponía que no existían: raíces cuadradas y logaritmos de números negativos... ¡Números imaginarios! Y para rizar el rizo, los números imaginarios se operan entre sí para dar otros números imaginarios o, para colmo, ¡para dar números reales! ¿Cómo es posible que i por i o que i elevado a i sean números reales? ¿Qué significa el seno de un ángulo imaginario?

    Averigua cuánto es ln (-1), i ⁱ y cos i.

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla ha encontrado una fórmula para los logaritmos complejos: 

ln z = ln |z| + arg (z) · i

    Profe, mire. Un número complejo tiene infinitos argumentos, por lo tanto, un número complejo tiene infinitos logaritmos. Dicho de otra manera: con los complejos la función logaritmo no es una función... Entonces, ¿por qué se llama función? En fin, ln (-1) = ln 1 + (2k+1) p i, para todo entero k. Es decir: pi, 3pi, 5pi, ..., y también -pi, -3pi, -5pi, ...

    Nina, también encontró una fórmula para los cosenos complejos: 

cos z = (e^iz+ e^-iz)/2

    Con esta fórmula tenemos: cos i = (eⁱⁱ+ e^-ii)/2 = (e^-1+ e¹)/2 = (1/e + e)/2.

    Finalmente para i ⁱ no dio ninguna fórmula, se limitó a comentar que había visto que había infinitos resultados (todos reales):

    El más "famoso" de los resultados es  i ⁱ = 0,207879576...

    A Nina le intrigaba el hecho de que hubiera infinitos resultados al operar con complejos... Y que las funciones de toda la vida no fueran funciones por este motivo... Investiga esto y nos lo cuentas.

378. SOLUCIÓN de 78. Contar o no contar...

    Pepe Chapuzas nos invita a contar... O mejor dicho..., a no contar...

    ¿Cuántas veces se repite la cifra "1" en la lista de números naturales del 1 al 1000000? ¿Cuántas veces se repite el "2"? ¿Y el "0"?

SOLUCIÓN

    Profe, mire. Empezamos con el "2". Hay tantos doses entre 1 y 1000000 que entre 000000 y 999999 (así escritos). Y así escritos hay en total 6·1000000=6000000 de dígitos de los cuales la décima parte, o sea, 6000000:10=600000 serán doses. Si alguien se marea contando ceros lo pongo con letra: seiscientos mil doses... Para el "1" se procede de la misma manera pero hay que añadir el "1" de 1000000, por lo tanto hay 600001... El "0" es más complicado porque en realidad los números naturales no empiezan con "0". Hay que restar los 6 ceros de 000000, los 5 ceros de 000001, etc., y añadir los 6 ceros de 1000000... Esto es casi como hacerlo con la cuenta de la vieja: 600000–6–9·5–90·4–900·3–9000·2–90000+6=488895.

 

    Nina Guindilla convenció con su solución...

 

    ¿Cuántos ceros hay en la lista de números naturales del 1 al 1000000000000 (un billón)?

377. SOLUCIÓN de 77. Doble optimización

   Hemos empezado el tema de optimización y Pepe Chapuzas está entusiasmado...

    Profe, no me imaginaba las cosas que se podían conseguir con las derivadas... Para el reto de esta semana he propuesto dos ejercicios en uno: una maximización y una minimización...
    Se trata de encontrar las dimensiones de dos conos: el de mayor volumen inscrito en la esfera y el de menor volumen circunscrito en la esfera. Los conos son rectos y de base circular y la esfera tiene de radio 1 metro. Además hay que calcular los dos volúmenes.

SOLUCIÓN

    Profe, mire. Si R y H son el radio y la altura de un cono, el volumen es V(R,H) = πR²H/3. Esta es la función que hay que optimizar... Vamos a utilizar el teorema de Pitágoras en los triángulos morado y azul...

    a) En el cono inscrito, (H−1)²+R² = 1², por tanto R² = 2H−H². Entonces la función volumen queda V(H) = π(2H²−H³)/3. La derivada V'(H) = π(4H−3H²)/3 se anula si H = 4/3. La segunda derivada V''(H) = π(4−6H)/3 sale V''(4/3) = −4/3 < 0. Ahora solo tenemos que calcular el radio del cono R = √(8/3−16/9) = √8/3, y el volumen V = π·8/9·4/3/3 = 32/81·π es máximo.

    b) En el cono circunscrito, (H−1)² = 1²+(H/R)², por tanto R² = H/(H−2). Entonces la función volumen queda V(H) = πH²/(3H−6). La derivada V'(H) = π(H²−4H)/(H−2) se anula si H = 4. La segunda derivada V''(H) = (H²−4H+8)/(H−2)² sale V''(4) = 2 > 0. Solo falta calcular el radio del cono R = √2, y el volumen V = π·2·4/3 = 8/3·π es mínimo.

    Nina Guindilla ha ido demasiado deprisa. ¿No os parece?

    Justifica todos los pasos de Nina.

    Calcula las dimensiones de los conos para optimizar sus áreas laterales (máxima y mínima respectivamente). 

376. SOLUCIÓN de 76. Los nenúfares asesinos

    En el cuaderno de Pepe Chapuzas hay una buena colección de problemas clásicos. Este que muestro aquí lo encontró en un libro antiguo:

    El gran estanque real estaba por fin construido y lleno de agua. Solo faltaban los nenúfares flotantes... y 17 días para la inauguración... El nenúfar preferido de la reina era el nenúfar asesino. Se llamaba así por su rápido crecimiento, pues no dejaba vivir a las demás especies de nenúfar. Un nenúfar asesino crecía tan rápido que la superficie de agua que cubría se duplicaba cada 24 horas... Los jardineros de palacio habían calculado que un solo nenúfar asesino necesitaba 4 semanas para cubrir enteramente el gran estanque real. Afortunadamente tenían 1000 nenúfares asesinos. ¿Estará cubierto del todo el gran estanque real de nenúfares asesinos el día de la inauguración?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla confeccionó la siguiente tabla:

    Profe, mire. N nenúfares asesinos necesitan D días para cubrir el estanque...

N=1           D=28

N=2           D=27

N=4           D=26

N=8           D=25

N=16         D=24

N=32         D=23

N=64         D=22

N=128       D=21

N=256       D=19

N=512       D=18

N=1024     D=17

    El estanque no se cubrió por muy poco... ¡Faltaron 24 nenúfares!

    Escribe N en función de D y D en función de N.

375. SOLUCIÓN de 75. Matemáticas al galope

    Hojeando el cuaderno de Pepe Chapuzas descubrí tres enigmáticos dibujos. La intriga me pudo así que le pregunté al respecto...

   Profe, mire... Como hay 64 casillas en el tablero del ajedrez, 64 hexagramas en el I Ching, y 64 caracteres en el alfabeto Braille... Pues hice un popurrí mezclándolo todo... Aunque no se trata de una casualidad, lo que ocurre es que 64 = 8² = 4³ = 2⁶... 

    El tercer dibujo sin embargo es un pasatiempos... En este tablero se esconde un famoso resultado matemático que "casualmente" tiene 64 letras. Para averiguarlo hay que ir de letra en letra saltando como un caballo en el ajedrez...

    Si tienes curiosidad, galopa sobre el tablero y me dices de qué famoso resultado se trata...

    Si tienes más curiosidad, escribe tu nombre en alfabeto Braille.
    Si aún te queda curiosidad, investiga qué significa I Ching en chino y para qué se utiliza.

SOLUCIÓN

    Galopando sobre el tablero, y poniendo los espacios para separar las palabras, Nina Guindilla encontró el teorema de Pitágoras: "El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos".

    Profe, I Ching significa libro de las mutaciones y es un libro oracular.

    Nina firmó en Braille: 

    Prepara para tus compañeros una galopada sobre el tablero pero con sílabas en vez de letras.

374. SOLUCIÓN de 74. Entre círculos

    He aquí el reto de esta semana que ha propuesto Pepe Chapuzas...

    Los campos de regadío circulares que se observan desde el avión me inspiraron este reto...
    Si la zona verde tiene un área de 1 metro cuadrado, ¿cuánto mide el área de la zona morada formada por tres círculos que son iguales y tangentes entre sí?

SOLUCIÓN

    Lo primero que hizo Nina fue dibujar el triángulo equilátero con vértices en los centros de los círculos. Llamó r al radio de los círculos, con lo que el lado del triángulo medía 2r. El área verde era pues la diferencia entre el área del triángulo y las de los 3 sectores circulares de 60º...

    Profe, mire. Me dan el área verde (1m). El área del triángulo es √3·r2  y el área de los 3 sectores circulares es p·r2/2, por lo que el área verde medirá (√3 – p/2 )·r2 = 1, por lo tanto el cuadrado del radio de los círculos será r2 = 1/(√3 – p/2 ) y el área morada será 3p/(√3 – p/2 )=58,4466 m2.

    Si en vez de tres hubiera cinco círculos iguales tangentes con centros en los vértices de un pentágono regular... ¿cuál sería mayor, el área de un círculo o el área verde?

373. SOLUCIÓN de 73. Un polinomio terrible

    Pepe Chapuzas ha propuesto desarrollar el siguiente producto de binomios. ¡Pero que nadie se asuste! La solución es mucho más fácil de lo que parece a simple vista.

SOLUCIÓN

 

    Nina Guindilla no se asusta tan fácilmente... ¡Y menos por un polinomio!

 

    Profe, mire. Viendo como van las letras, el antepenúltimo binomio es x–x=0, y como es un factor nulo, el producto final vale 0 evidentemente... Por cierto, hay una cosa que no me cuadra... Un número distinto de 0 es un polinomio que solo tiene término independiente: sería un polinomio de grado 0. La regla del grado de un producto (igual a la suma de los grados de los factores) se cumple: si K es un número distinto de 0 y si gr(P(x)) = p, entonces

gr(K·P(x)) = gr(K)+gr(P(x)) = 0+p = p.

    Pero si K = 0, entonces 

gr(0) = gr(0·P(x)) = gr(0)+gr(P(x)) = gr(0)+p...

    Por lo que a la fuerza sería p = 0, lo cual es absurdo...

 

    Nina no admite reglas con excepciones. Para ella eso de "la excepción que confirma la regla" tendría que ser sustituido por "la excepción que anula la regla" o "el contraejemplo"...

    ¿Cómo podría arreglarse esto para no invalidar la regla? ¿Cuál es el grado de 0?



372. SOLUCIÓN de 72. El club de los excéntricos

    Llegaron unos cuantos alumnos, incluido Pepe Chapuzas, con una chapa en la solapa... Preguntados sobre el novedoso ornato, Pepe me aclaró que era el emblema del club de los excéntricos...

 

    Profe, mire. Para entrar en el club solo hay que resolver tres cuestiones relacionadas con el emblema...

    Como ve, se trata de dos elipses semejantes y por ello tienen la misma excentricidad. El eje mayor de la elipse menor es el eje menor de la elipse mayor... Y las tres regiones (roja, amarilla y verde) tienen la misma área...

    Primera cuestión: ¿Cuál es la excentricidad de las elipses?

    Segunda cuestión: Calcula los ángulos del rombo cuyos vértices son los focos de las elipses.

    Tercera cuestión: Demuestra que toda cuerda horizontal de la elipse mayor es partida en tres segmentos iguales por la elipse menor.

 

    ¿Quieres pertenecer al club? ¡A ver si lo consigues...!

 

SOLUCIÓN

 

    ¡Ya lo creo que Nina Guindilla consiguió entrar en el club de los excéntricos...!

 

    Profe, mire. Si las 3 regiones del emblema tienen la misma área entonces el área de la elipse mayor es el triple del área de la elipse menor. Si las elipses son semejantes, la razón de semejanza será √3, por lo que si A y B son los ejes mayor y menor de la elipse mayor y B y C son los ejes mayor y menor de la elipse menor, entonces A/B = B/C = √3. La  excentricidad de las elipses será por tanto √(1−B²/A²) = √(1−C²/B²) = √(1−1/3) = √(2/3).

    Las diagonales mayor y menor del rombo son las distancias focales de las elipses mayor y menor respectivamente y su razón será también √3. Esta es la proporción que se da precisamente en el diamante (rombo formado por 2 triángulos equiláteros), por lo que los ángulos son de 60º y 120º.

    Si a = A/2, b = B/2 y c = C/2, las ecuaciones reducidas de las elipses mayor y menor serán respectivamente (x²/a² + y²/b² = 1) y (x²/c² + y²/b² = 1). Si para una ordenada dada las cuerdas horizontales de las elipses mayor y menor son E y F, y si e = E/2 y f = F/2, tendremos que e²/a² = f²/c² (= 1 − y²/b²), y también, E²/A² = F²/C², es decir, E/F = A/C = A/B · B/C = √3·√3 = 3. La cuerda mayor tendrá una longitud triple de la de la cuerda menor y teniendo en cuenta la simetría del emblema, los 3 segmentos serán iguales. 

 

    Comprueba que en un diamante la razón de sus diagonales es √3. 

371. SOLUCIÓN de 71. Adivina adivinanza

    La semana de las adivinanzas matemáticas tuvo mucho éxito debido a la gran participación. Aquí tenéis la adivinanza de Pepe Chapuzas.

    Adivina adivinanza... En cada vértice del cubo hay bola pintada. Doy 4 colores para 4 bolas. ¿De qué colores son las otras 4 bolas y por qué?

SOLUCIÓN

     Nina Guindilla se puso a colorear las bolas...

     Profe, esta adivinanza va de píxeles... El color rojo está en el eje x, el color verde está en el eje y y el color azul está en el eje z... Si 0 significa apagado y 1 encendido, en el punto (0,0,0) (ausencia de luz y de color) estaría la bola negra que no se ve, en el punto (1,0,1) estaría la bola magenta, en el punto (0,1,1) la bola cian y en el punto (1,1,1) la bola blanca, ¿verdad?

    Busca la etimología de la palabra píxel.

370. SOLUCIÓN de 70. Las cintas de la casamentera

    Como se acercaba San Valentín algunos alumnos han preparado actividades para la ocasión... Esta es la de Pepe Chapuzas:

    Los novios de mi pueblo van a preguntarle a la casamentera por su futuro. Esta, coge una tira larga de papel, que ella denomina cinta de amor abierta, y pega sus extremos para formar una cinta de amor cerrada...

... y después corta esta cinta de amor por la mitad a todo lo largo. El resultado después del corte depende de lo retorcida que estuviera la cinta y, curiosamente, de lo generoso de la propina... O salen dos cintas separadas, o dos cintas enlazadas o una sola cinta el doble de larga... Cada resultado tiene un significado según la casamentera: divorcio, unión o unión perfecta...
    Investiga como hay que unir los extremos de la cinta de amor para conseguir cada resultado y habrás adivinado el truco de la casamentera...

    Prueba con  cintas de papel, resuelve la actividad de Pepe, y me lo cuentas todo...

SOLUCIÓN

    Profe, mire. Dependiendo de la propina, la casamentera pegaba los extremos de la cinta más o menos retorcida. Si la cinta no tenía giros en su longitud, al cortar por la mitad salían dos cintas separadas (divorciadas). Si la cinta tenía media vuelta dada (cinta de Möbius) o una vuelta y media, o dos vueltas y media, etc., se obtenía una cinta el doble de larga más o menos retorcida (una unión más o menos perfecta). Finalmente, si las vueltas eran enteras salían dos cintas más o menos enlazadas...

    Nina Guindilla os propone el siguiente reto...

    Suponed que tenéis una cinta de Möbius de 4cm de anchura... Si en vez de cortarla a lo largo por la mitad a 2cm del borde la cortáis a lo largo pero a 1cm del borde... ¿Cuál sería el resultado final?