385. SOLUCIÓN de 85. El número de Dios y el número del diablo

    Había mandado hacer un trabajo sobre el número de oro, también llamado el número de Dios, que es una constante que se encuentra con frecuencia en la naturaleza y en el arte, y por supuesto en las Matemáticas. Su nombre es Φ (se lee fi) y su valor aproximado es Φ = 1,618... Hay mucho material para buscar: hay mucha información en Internet y hay libros de divulgación enteros dedicados a este número..., así que los alumnos hicieron un buen trabajo. Pepe Chapuzas incluyó en el suyo una curiosa relación entre el número de oro y el número de la bestia, el 666, también conocido como el número del diablo, aunque no hizo ninguna demostración.

    Haz una demostración. Para ello no valen aproximaciones ni calculadoras. Tienes que buscar una definición o una expresión exacta para Φ, y una relación geométrica con el ángulo de 666º.

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla vio que Φ aparecía en tantos sitios que no sabía por dónde empezar... así que empezó por el ángulo de 666º...

    Profe, mire. El ángulo de 666º es un ángulo impropio porque es mayor que 360º, por lo tanto sen 666º = sen (666º–360º) = sen 306º. El ángulo de 306º es un ángulo del cuarto cuadrante porque es mayor que 270º y menor que 360º, por lo tanto sen 306º = –sen (360º–306º) = –sen 54º. El ángulo de 54º me da la primera pista: está relacionado con el pentágono regular...

    El número Φ también está relacionado con el pentágono regular: es la razón áurea o razón entre la diagonal y el lado del pentágono regular...

    Relacionando los dos datos anteriores tenemos que sen 54º = Φ/2, por lo tanto sen 666º = –Φ/2 y por lo tanto tenemos Φ = –2·sen 666º, que es lo que había que demostrar.

    Teniendo en cuenta que en el siguiente dibujo los triángulos lila y naranja son semejantes, obtén el valor exacto (con radicales) de Φ.