379. SOLUCIÓN de 79. La compleja realidad

    Todos los años pasa lo mismo. Los números complejos levantan muchas sospechas de falsedad. Los alumnos afrontan el tema con escepticismo e incredulidad. Aprenden a operar con ellos pero los resultados se quedan en el apartado de lo ficticio o especulativo... Pepe Chapuzas no iba a ser menos.

    Profe, esto de trabajar con cosas que se suponía que no existían: raíces cuadradas y logaritmos de números negativos... ¡Números imaginarios! Y para rizar el rizo, los números imaginarios se operan entre sí para dar otros números imaginarios o, para colmo, ¡para dar números reales! ¿Cómo es posible que i por i o que i elevado a i sean números reales? ¿Qué significa el seno de un ángulo imaginario?

    Averigua cuánto es ln (-1), i ⁱ y cos i.

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla ha encontrado una fórmula para los logaritmos complejos: 

ln z = ln |z| + arg (z) · i

    Profe, mire. Un número complejo tiene infinitos argumentos, por lo tanto, un número complejo tiene infinitos logaritmos. Dicho de otra manera: con los complejos la función logaritmo no es una función... Entonces, ¿por qué se llama función? En fin, ln (-1) = ln 1 + (2k+1) p i, para todo entero k. Es decir: pi, 3pi, 5pi, ..., y también -pi, -3pi, -5pi, ...

    Nina, también encontró una fórmula para los cosenos complejos: 

cos z = (e^iz+ e^-iz)/2

    Con esta fórmula tenemos: cos i = (eⁱⁱ+ e^-ii)/2 = (e^-1+ e¹)/2 = (1/e + e)/2.

    Finalmente para i ⁱ no dio ninguna fórmula, se limitó a comentar que había visto que había infinitos resultados (todos reales):

    El más "famoso" de los resultados es  i ⁱ = 0,207879576...

    A Nina le intrigaba el hecho de que hubiera infinitos resultados al operar con complejos... Y que las funciones de toda la vida no fueran funciones por este motivo... Investiga esto y nos lo cuentas.