243. La colina de los caracoles

    Profe, mire. El parque de mi barrio sería completamente llano y horizontal si no fuera por la colina de los caracoles que se levanta en el centro. La colina es perfectamente cónica, es decir, un cono recto de base circular. Todos los años se celebra una carrera de caracoles en la colina. La salida y la llegada están al pie de la colina, en puntos diametralmente opuestos. Este año un caracol hizo el siguiente recorrido: subió desde la salida hasta la cumbre en línea recta y después bajó desde la cumbre hasta la llegada en línea recta también. La longitud de este recorrido fue de 10 metros. Otro caracol menos atlético evitó la colina y dio un rodeo bordeando la base del cono. Este otro recorrido fue de 10 metros también. Finalmente hubo un tercer caracol que encontró el camino más corto. ¿Cuál es la longitud de este camino más corto sabiendo que no hay túneles?

    No tengo que añadir nada a este problema de Pepe Chapuzas...

242. Suma musical...

    Este es el criptograma que ha propuesto Pepe Chapuzas para el concurso de criptogramas.

    Se trata de una suma de números naturales de 2 dígitos. El resultado es un número natural de 3 dígitos. Cada letra representa una cifra diferente. ¿A qué cifra corresponde cada letra?

241. Curiosidades aritméticas

    ¿Seguirá ocurriendo esto con números cada vez más largos?

    Pepe Chapuzas ha pinchado en el corcho de clase esta curiosidad aritmética. Es la primera de la colección que vamos a realizar esta semana. Estamos esperando la tuya. Busca una y colabora... Nos vemos.

240. Polígonos naturales, naturalmente...

    Profe, mire. Estos polígonos regulares tienen todos un ángulo interior que mide una cantidad entera (un número natural) de grados sexagesimales. Ayer me puse a averiguar cuántos polígonos regulares (y cuáles) comparten esta peculiaridad... pero se me hizo de noche... Y esta mañana tenía demasiado sueño... ¿Me podría echar una mano?

    Parece que a Pepe Chapuzas se le han pegado las sábanas. Ha llegado tarde a clase... y encima con este problema. Igual piensa que así no le voy a poner un retraso en el parte... Al final, él se quedará con su retraso en el parte y el que resuelva su problema se llevará un positivo. ¡Ánimo!

239. La siesta del 8

    Profe, mire. El ocho sueña que es infinito en vez de ocho cuando echa la siesta...

    El chiste de Pepe Chapuzas era muy viejo y no tuvo demasiado éxito... Entonces le comenté que había un ocho que no podía soñar que era infinito porque no podía dejar de ser ocho ni echando la siesta... Se trataba del ocho (que estaba echando la siesta) determinado por las gráficas de las funciones sen(x) y –sen(x) en el intervalo [–π,π]... Hice un dibujo en la pizarra...

    Pepe exclamó:

    ¡Es por culpa del área que encierra!

 

    Estas curvas se llaman sinusoides. Calcula el área (amarilla) encerrada entre las dos sinusoides...

238. El criterio del 11

    Estábamos repasando en clase los criterios de divisibilidad y como ejemplo había que comprobar que 5786 era un múltiplo de 11. Algunos alumnos no se acordaban del criterio del 11 y dividieron directamente 5786 entre 11.

    Los que sí se acordaban del criterio hicieron más o menos lo siguiente:

    Pepe Chapuzas se complicó un poco intentando justificar por qué funcionaba así el criterio del 11. En su cuaderno escribió la siguiente chapuza...

    Leamos despacito el número 5786.
    Cinco mil, setecientos, ochenta, y seis...
    O sea, 5000 + 700 + 80 + 6.
    O sea, 5·1000 + 7·100  + 8·10 + 6.
    O sea, 5·10³ + 7·10² + 8·10 + 6.
    Y si escribimos ahora 10 como los romanos ( 10 = x )
    tenemos 5x³ + 7x² + 8x + 6. ¡Un polinomio! 
    Y también 11 = 10 + 1 = x + 1.
    Así que la división 5786 : 11 se convierte en
    la división de polinomios ( 5x³ + 7x² + 8x + 6 ) : ( x + 1 ).
    Y por el teorema del resto, el resto de esta división será
    5·(–1)³ + 7·(–1)² + 8·(–1) + 6 = – 5 + 7 – 8 + 6 = 0
    que no es otra cosa que el criterio del 11.

    Todo parecía cuadrar... pero a Pepe se le había olvidado que al aplicar el criterio del 11 el resultado no tiene por qué ser 0 sino que puede ser 11 o un múltiplo de 11. ¿Puedes arreglar y terminar esta chapuza de Pepe?
    ¿Cómo se podría aplicar el criterio del 11 con la regla de Ruffini?
    ¿Cuál es el menor múltiplo (natural) de 11 para el que el resultado de aplicar el criterio es 11?
    ¿Y cuáles son los menores múltiplos (naturales) de 11 para los que el resultado de aplicar el criterio es 22, 33, 44...?
    ¿Te atreves a justificar el criterio del 9 al estilo de Pepe Chapuzas?  

237. La ecuación intrusa

    Había mandado una colección de ecuaciones con radicales (raíces cuadradas) para entregar y se me coló una con raíces cúbicas...

    La mayoría de mis alumnos contestó que de ese tipo no se habían visto, pero Pepe Chapuzas empezó de la siguiente manera:

    Si para eliminar las raíces cuadradas elevamos al cuadrado, para eliminar las raíces cúbicas habrá que elevar al cubo...

    Después de varios intentos (había muchos tachones) lo consiguió...
    Demuestra que tú también puedes hacerlo...

236. Una extraña flor

    Pepe Chapuzas estaba dibujando una extraña flor en su cuaderno y le tuve que recordar que no estábamos en clase de Dibujo sino de Matemáticas. Rápidamente me comentó que era un dibujo para ilustrar el reto que iba a plantear a la clase para el fin de semana.

    Alrededor de un polígono irregular convexo de N lados (amarillo) se adosan N triángulos equiláteros (verdes) que determinan entre sí N ángulos (rojos). ¿Cuánto suman estos ángulos?

    Obtén una fórmula que dependa de N.

235. ¡A lo bruto!

    Había mandado para casa un ejercicio de progresiones. Se trataba de calcular cuánto sumaban los números de las páginas de un libro. Se suponía que había que utilizar las fórmulas que se habían explicado, sin embargo Pepe Chapuzas lo hizo a lo bruto...

    Y como lo hizo a lo bruto el resultado era incorrecto. ¡Se había saltado una página! ¿Cuántas páginas tenía el libro y cuál se había saltado Pepe?

234. Morse y los mayas

    Mientras pasaba lista en clase empecé a oír un ruidito de fondo que parecía un telégrafo. Agucé el radar (que hemos desarrollado los profes) para localizar la procedencia del telégrafo y resultó ser Pepe Chapuzas. Le llamé la atención... Como disculpa dijo que se había despistado ensayando el código Morse... Le pregunté por curiosidad qué estaba diciendo en código Morse y me entregó este papelito con puntos y rayas...

    Empecé la clase comentando que los mayas utilizaban puntos y rayas para representar números... Como "castigo" le mandé a Pepe que escribiera el número 6527775 en notación maya.

    Puedes echarle una mano a Pepe enviándome tú la solución...
    Por cierto... ¿Qué estaba diciendo Pepe en código Morse?

233. Un enlace geométrico

    Un cuadrado y un círculo están enlazados. Si quieres saber lo que esto significa solo tienes que echar un vistazo al dibujito. 

    Si el área del circulo es de 1 metro cuadrado... ¿Cuánto mide el área del cuadrado?

    Resuelve este pequeño reto de Pepe Chapuzas y me envías el resultado con todas las operaciones. Y si te ha parecido fácil puedes resolver el siguiente enlace... Si el área del triángulo equilátero es 1 metro cuadrado... ¿Cuánto mide el área del círculo?

232. La urna de cristal

    Pepe Chapuzas vuelve a amenizar la clase con un desafío matemático...

    Aquella urna de cristal tenía forma de ortoedro. Era una urna completamente cerrada y contenía en su interior 1 litro de agua. Cuando apoyábamos la urna sobre cada una de sus bases el nivel del agua alcanzaba una altura de 20mm, 40mm y 50mm respectivamente. ¿Cuál es la capacidad de esta urna?

    ¡A por el desafío de Pepe! Espero tu respuesta.

231. Los peces besucones

    Profe, mire. He comprado 60 peces besucones. No es que sean muy cariñosos, es que esa es la manera que tienen de cambiar de color. Verá... Los peces besucones pueden ser azules, amarillos o rojos, y cuando se besan dos peces de distinto color, los dos mudan su color para volverse del mismo color de la siguiente manera:

    Cuando los compré había 18 azules, 20 amarillos y 22 rojos... Me pregunto si a base de besos se podrían volverse todos del mismo color...

    ¿Quién puede responder a Pepe Chapuzas? Si crees que tienes la solución, pásamela.

230. Cuadrados de cuadrados

    Profe, mire. Puedo componer un cuadrado grande juntando 6 cuadrados, 7 cuadrados, 8 cuadrados...  ¿Es posible formar cuadrados con cualquier cantidad N de cuadrados (si N > 5)? 

    No le contesté esta pregunta a Pepe Chapuzas. Dejo que la penséis...
    ¿Ocurriría lo mismo con triángulos equiláteros?

229. El libro censurado

    Profe, mire. En casa tengo un libro antiguo al que le faltan muchas hojas. (Yo creo que fue censurado.) El caso es que las páginas que faltan son todas consecutivas... La primera página que falta es la 385 y de la última página que falta solo sé que su número tiene esas tres mismas cifras.
¿Sabría decirme cuántas hojas le faltan al libro?

    Esta historia de Pepe Chapuzas contiene (como todas sus historias) una preguntita...
    ¿Cuántas hojas faltan? La respuesta debe estar acompañada de un buen razonamiento...

228. Una mesa pintada

   Profe, mire. Mi mesa está tan descolorida que he decidido pintarla... ¿Qué le parece este diseño?

    Pepe Chapuzas me enseñó este dibujo que pretendía ser el resultado final de su proyecto para con la mesa... Cuando le recordé que no podía tomarse esas libertades con el material del instituto, me confesó que no iba en serio y que el dibujo solo era un problemita de Geometría:

    Si el área verde mide 0,23 metros cuadrados... ¿Cuánto medirá el área anaranjada?

    Resuelve el problema de la mesa de Pepe Chapuzas y me mandas la solución...

227. Una sucesión muy natural...

    Pepe Chapuzas escribió en la pizarra la siguiente sucesión:

    Es decir, en esta sucesión el número natural N aparece N veces. La pregunta era la siguiente...

    ¿Cuál es el término millonésimo, o sea, A1000000?

    Si lo resuelves te pongo un positivo.

226. Un número millonario...

    Cuando entré en clase encontré escrito en la pizarra este reto...

    Calcula este producto y me lo cuentas razonadamente...

225. Tres cuadrados

    Pepe Chapuzas había forrado su libro de Mates con un papel blanco, y para decorarlo había dibujado tres cuadrados que se intersecaban. El dibujo era más o menos así:

    Debajo del dibujo no podía faltar un ejercicio...

    Los lados de estos tres cuadrados son 6cm, 4cm y 3cm respectivamente. Calcula A – R donde A es el área azul y R es el área roja.

    Resuélvelo. Es más fácil de lo que parece a simple vista.

224. El poliedro de Steffen

    Pepe Chapuzas hizo una redacción sobre construcción de poliedros que empezaba así...

    Para construir un poliedro voy uniendo finos polígonos de madera por la arista con cinta adhesiva. Cuando uno los dos primeros se forma un ángulo diedro que se puede abrir y cerrar fácilmente. 

    Pero a medida que voy añadiendo más polígonos los diedros se vuelven inamovibles y el poliedro terminado es totalmente rígido...

    Al día siguiente le regalé a Pepe unos triángulos de madera y las instrucciones para construir el poliedro de Steffen... No olvidaré la expresión de su cara cuando terminó de construirlo...

    ¡Profe, este poliedro se mueve! ¡Es flexible!

    Busca en Internet el desarrollo del poliedro de Steffen, constrúyelo (puede ser de cartulina) y sorprende a tus compañeros...

223. Ciclos de polígonos

    Profe, mire. En casa tengo una bonita colección de polígonos regulares. Empecé a juntar por los lados los que tenía "repes" formando ciclos... Bueno..., esto lo aclaro. Llamé ciclos a las figuras planas que obtenía juntando por los lados polígonos regulares idénticos. La única condición era que tenían que formar una cadena cerrada y que sus centros descansaran sobre una circunferencia imaginaria... En fin... No sé si lo he aclarado u oscurecido así que voy a hacer unos dibujitos para que se entienda:

    La cuestión es muy sencilla... ¿Cuántas ciclos diferentes se pueden formar con cada clase de polígono?

    Pepe Chapuzas ha planteado una interesante cuestión. Investiga el asunto y me cuentas lo que descubras. Espero que la respuesta sea igual de interesante...

222. El reparto de las gominolas

    Íbamos a corregir un problema en clase. Se tenía que repartir 1410 gominolas entre 3 chicos y el reparto debía ser inversamente proporcional al número de faltas de ortografía en el último dictado: Ana había cometido 3 faltas, Blas había cometido 4 y Carlos 5.
    Fue Pepe Chapuzas el que salió a la pizarra para corregir este problema, y lo hizo de un modo "diferente" a como se había explicado. Empezó con un extraño dibujo...

    Profe, mire. Cuántas más faltas cometa uno, habrá más gominolas para los demás. Por tanto el reparto será directamente proporcional a 4x5=20, 3x5=15 y 3x4=12 respectivamente. Como 20+15+12=47, la constante de proporcionalidad será 1410:47=30, por lo que...

    Ana se llevará 20x30 = 600 gominolas.
    Blas se llevará 15x30 = 450 gominolas.
    Carlos se llevará 12x30 = 360 gominolas.
    (Comprobemos... 600+450+360=1410 gominolas).

    ¿Es correcto el planteamiento de Pepe? Prepara un problema de reparto inversamente proporcional de gominolas entre 5 chicos de modo que cada chico se lleve una cantidad entera de gominolas.

221. Pirámides submarinas

    Profe, mire. En Chapuzalandia van a decorar el acuario con dos pirámides. Las pirámides son semejantes pero una es mayor que la otra. Antes de sumergir las pirámides las han pintado con un barniz protector carísimo. Afortunadamente el barniz cunde mucho y la cantidad que se necesitó es insignificante: 8 mililitros para la pirámide pequeña y 18 mililitros para la pirámide grande... Cuando se sumergió la pequeña el nivel del agua subió 8 milímetros... ¿Cuánto subirá el nivel cuando sumerjan la grande?

    Pepe Chapuzas regresa con una historia de Chapuzalandia...
    Hay un positivo para el que conteste correcta y razonadamente...

220. Un sangaku

    Pepe Chapuzas se ha aficionado a los sangakus geométricos. Yo creo que hasta se los inventa... Cuando alguno se le resiste lo propone en clase para su resolución colectiva. Este es el último:

    Un sector circular de radio 1 pie se puede abrir y cerrar como un abanico. Al trazar la cuerda del arco del sector, este queda dividido en dos partes: un segmento circular (azul) y un triángulo isósceles (verde). Si inscribimos un círculo en cada parte como se observa en el dibujo... ¿Qué ha de medir el ángulo del sector para que los círculos sean iguales?

    Intenta resolver este sangaku y envíame por correo electrónico el resultado al que hayas llegado.
    Busca (o inventa) algún sangaku interesante y lo propones en clase...

219. Los cuadrados del ajedrez.

    Había mandado contar cuántos cuadrados había en un tablero del ajedrez. Alguien respondió demasiado deprisa que eran 8x8=64... Estaba claro que esa no era la respuesta acertada. Había claramente 64 casillas en el tablero, pero además había cuadrados formados por 4 casillas, por 9 casillas... El propio tablero era un cuadrado más... Entonces Pepe Chapuzas, presumiendo de sus conocimientos matemáticos contestó:

   Profe, la solución es el octavo número piramidal cuadrado...

    Pepe se sacó un polinomio de tercer grado de la manga como fórmula y dio con la solución... Los compañeros no entendieron nada la respuesta y tuve que reprocharle a Pepe su actitud. Como "castigo" le mandé que justificara esa fórmula y que demostrara que valía para cualquier tablero de NxN casillas. Pepe, que era muy hábil con el método de inducción dio una clase magistral...

    Investiga qué es un número piramidal cuadrado. Busca y demuestra su fórmula por el método de inducción y justifica por qué nos da el número de cuadrados que hay en un tablero de NxN casillas.

218. Los primos de Pepe Chapuzas (2ª parte)

    Profe, mire. Los inversos de los números primos son números racionales y sus expresiones decimales son infinitas periódicas puras (excepto las de 1/2 y 1/5). Además el número de cifras del período (longitud del período) es siempre menor que el número primo (el denominador). ¿Sabría decirme cuál es el único primo que da lugar a un período de 1 cifra? ¿Y de 2 cifras? ¿Y de 3 cifras? ¿Y de 4 cifras?

    Pepe Chapuzas siempre me está poniendo a prueba...
    ¿Quién me echa una mano para contestar a Pepe de forma razonada?
    ¿Por qué la longitud del período es menor que el denominador?
    Investiga qué pasa con períodos de mayor longitud.

217. Los primos de Pepe Chapuzas

    Había mandado unos deberes facilitos para casa. Solo había que comprobar que determinados números eran primos. El primero era el 53 y Pepe realizó la siguiente comprobación en su cuaderno:

 

    Se trataba de una chapucera comprobación gráfica...
    Explica qué es lo que ha hecho Pepe Chapuzas. Comprueba de la misma manera que 127 es un número primo...