1648. Engranajes...

     Pepe Chapuza trajo un dibujo de un engranaje de cuatro ruedas dentadas A, B, C y D. El par A-B estaba engranado, el par B-C era solidario y el par C-D estaba engranado. En la chapuza de dibujo no se veían los dientes de las ruedas, solo se indicaba el número de ellos en cada una de ellas. Helo aqui...

    Profe, mire. ¿Cuántas vueltas tiene que dar la corona para que el piñón dé 200? 

    (La corona es la rueda A y el piñón es la rueda D.)

SOLUCIÓN

    Niña Guindilla le dio una vuelta a la corona... 

    Mire, profe. En un par engranado, el número de vueltas es inversamente proporcional al número de dientes. En un par solidario el número de vueltas coincide... Si le damos una vuelta a la corona, la rueda B dará 50/24 = 25/12 vueltas, la rueda C también dará 25/12 vueltas y el piñón dará  25/12·35/14 = 125/24 vueltas. Así, para que el piñón dé 200 vueltas, la corona ha de dar 200·24/125 = 38,4 vueltas.

    Muy bien... ¿Quién da el resultado en dientes?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota le hincó el diente a la pregunta...

    Profe, mire. 

    38,4 vueltas de la corona son 38,4·50 = 1980 dientes.

    200 vueltas del piñón son 200·14 = 2800 dientes.

1647. Los primos de Fermat

    No. No se trataba de parientes, sino de unos números naturales primos peculiares. Pepe Chapuza había escrito cinco de ellos en la pizarra... y una fórmula...

    Busca información y ya nos contarás... 

SOLUCIÓN

    Niña Guindilla empezó con los números de Fermat... 

    Mire, profe. Un número es de Fermat si responde a la fórmula que escribió Pepe para algún natural n. Pues un primo de Fermat es un número de Fermat primo... Pepe ha escrito los cinco primeros números de Fermat y los cinco son primos, esto es, son primos de Fermat... Fermat conjeturó que todos "sus" números eran primos pero Euler descompuso el sexto (4294967297 es divisible por 641) y otros han descompuesto otros. De hecho no se ha encontrado aún ningún otro primo de Fermat. 

    Hay una relación entre los primos de Fermat y los polígonos regulares construibles con regla y compás... Averígualo...

RESOLUCIÓN

    Mire, profe. El teorema de Gauss-Wantzel afirma que un polígono regular de N lados es construible con regla y compás si y solo si en la factorización de N solo aparecen el 2 y/o primos de Fermat... A lo largo de la historia se ha conseguido construir los polígonos regulares correspondientes a los cinco (primeros) primos de Fermat... Son (por ahora) los primordiales para la construcción de los demás...

    Yoyó Gaviota además nos recordó que en clase de dibujo habían enseñado a construir el triángulo equilátero, el cuadrado, el pentágono regular, el hexágono regular y otros con regla y compás..., pero el heptágono regular no se puede... Siete no es un primo de Fermat... 

1646. Armonía geométrica

    Pepe Chapuza mostró a la clase un sencillo dibujo que era un sencillo problema:

    Mire, profe. Si a y b son los catetos de un triángulo rectángulo, d es el lado del cuadrado inscrito que comparte el ángulo recto y s = 2d es el semiperímetro del cuadrado, entonces s es la media armónica de a y b...

    Bonito resultado... que habrá que demostrar...

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla lo hizo de la siguiente manera:

    Profe, mire. El cuadrado separa dos triángulos rectángulos semejantes por lo que sus catetos son proporcionales...

(a−d)/d = d/(b−d)

(a−d) (b−d) = dd

ab = (a+b)d

s = 2d = 2ab/(a+b) = 2/(1/a+1/b)

    Se puede decir que el lado d es el inverso de la suma de los inversos de los catetos a y b... 

d = 1/(1/a+1/b)

    Perfecto... Por cierto, ¿habéis oído hablar de la media contraarnónica? ¡Investigad!

RESOLUCIÓN

    Escuchemos a Yoyó Gaviota. Algo tiene que decirnos...

    Profe mire. La media contraarmónica de dos números x e y es (xx+yy)/(x+y), Esto es, se divide entre la suma de los números la suma de sus cuadrados. Así, por ejemplo, la media contraarmónica de 3 y 7 es (9+49)/(3+7) = 5,8. He aquí cuatro relaciones entre medias:

    1) La media contraarmónica es igual al doble de la media aritmética menos la media armónica.

    2) La media aritmética es igual a la media aritmética de las medias armónica y contraarmónica.

    3) La media geométrica es igual a la media geométrica de las medias aritmética y armónica.

    4) La media cuadrática es igual a la media geométrica de las medias aritmética y contraarmónica.

    Yoyó no podía despedirse sin sendas demostraciones...

    Profe, mire. Llamemos A(x, y), G(x, y), H(x, y), C(x, y) y Q(x, y) a las medias aritmética, geomética, armónica, contraarmónica y cuadrática, respectivamente. Las cuatro relaciones se pueden escribir así:

C(x, y) = 2A(x, y)−H(x, y)

A(x, y) = A(H(x, y), C(x, y))

G(x, y) = G(A(x, y), H(x, y))

Q(x, y) = G(A(x, y), C(x, y))

    

    Vamos con las demostraciones...

    1) 2A(x, y)−H(x, y) = (x+y)−(2xy)/(x+y) = (xx+yy+2xy−2xy)/(x+y) = C(x, y). 

    2) A(H(x, y), C(x, y)) = ((2xy)/(x+y)+(xx+yy)/(x+y))/2 = (x+y)(x+y)/(x+y)/2 = A(x, y). 

    3) G(A(x, y), H(x, y)) = √((x+y)/2·2xy/(x+y)) = G(x, y).

    4) G(A(x, y), C(x, y)) = √((x+y)/2·(xx+yy)/(x+y)) = Q(x, y)

    Si el lector necesita pasos intermedios que los realice...

1645. De noveno grado

     Pepe Chapuza me habló de un polinomio 9.º grado. Dejo que os lo cuente él mismo...

    Mire, profe. Sea P un polinomio de grado 9 tal que para los 10 primeros números naturales, n, se cumple que P(n) = 1/n. Calcule P(11).

    La intuición le sopló a alguno que sería 1/11, pero la intuición no es siempre una confidente fiable...¿Quiere contarme alguien algo acerca de este larguísimo polinomio?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla no se puso a calcular los coeficientes de P, por supuesto...

    Profe, mire. Para cada número n natural con 1≤n≤10 se tiene que n·P(n) − 1 = 0, por lo tanto n es una raíz del polinomio x·P(x) − 1... que tendrá por ende grado 10 y 10 raíces...

x·P(x)−1 = k·(x−1)·(x−2)·...·(x−10)

    Para x = 0, se tiene que −1 = k·10!, de donde k = −1/10!. Así pues, para x = 11...

    11·P(11) − 1 = −1/10!·10! = −1
P(11) = 0

    ¡Hemos encontrado una raíz de P!

    ¿Cuánto vale P(−1), P(12) y P(0)?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota hizo los calculitos...

    Profe, mire..

−1·P(−1) − 1 = −1/10! · 11! = −11  y  P(−1) = 10

12·P(12) − 1 = −1/10! · 11! = −11  y  P(12) = −10/12 = −5/6

    Pero para x=0 este procedimiento no sirve. P(0) es el coeficiente del término de primer grado de x·P(x), es decir... 

−1/10!·(−10!/1−10!/2−...−10!/10) = 1+1/2+...+1/10 = 7381 / 2520

1644. El teorema del incentro

    Profe, mire. Sea a, b y c los lados opuestos de los vértices A, B y C de un triángulo. Sea D la intersección de la bisectriz de ∡ A con el lado a. Y sean d y d' las distancias del incentro del triángulo a A y a D respectivamente. Entonces, d/d' = (b+c)/a.

    Pepe Chapuza había enunciado el famoso teorema del incentro. Se necesitaba una demostración...

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla trazó las bisectrices de ∡ B y de ∡ C...

    Profe, mire. Podemos aplicar el teorema de la bisectriz en los triángulos ABD y ACD...

c/d = m/d'

b/d = n/d'

y sumando las igualdades

c/d + b/d = m/d' + n/d'

(c+b)/d = (m+n)/d' = a/d'

de donde se obtiene el resultado...

    Bonita demostración... ¿Conocéis algún otro resultado interesante con el incentro?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota trajo el siguiente:

    Profe mire. Si d, e y f son las distancias del incentro a A, B y C, respectivamente, entonces se tiene que def = 4Rr², donde R y r son el circunradio y el inradio del triángulo.

1643. Una cuerda normal

    Mire, profe. En una parábola consideremos una cuerda PQ normal en el punto P. Ubíquese P para que la longitud de PQ sea mínima.

    Pepe Chapuza enunció este problema de optimización. Intenta resolverlo...

SOLUCIÓN

    Profe, mire. Como todas las parábolas son semejantes entre sí, voy a resolver este problema para la parábola más sencilla: P(y², y) con y∈ℝ .

    Nina Guindilla sabía cómo simplificar desde el principio...

    Mire, profe. En un punto P de la parábola un vector tangente es u = (2y, 1) y podemos obtener la normal correspondiente: Q(x, y−2y(x−y²)) ≡ Q(x, y−2yx+2y³) con x∈ℝ . Así, el extremo de la cuerda cumple (teniendo en cuenta que para y = 0 no hay cuerda)...

x = (y−2yx+2y³)² = y²+4y²x²+4y⁴−4y²x+4y⁴−8y⁴x

4y²x² + (−8y⁴−4y²−1)x + (4y⁶+4y⁴+y²) = 0

    Dividiendo entre x−y²  

4y²x −4y⁴−4y²−1 = 0
x = (4y⁴+4y²+1) / (4y²) = (2y²+1)² / (2y)² = (y+0.5/y)²
Q((y+0.5/y)², −(y+0.5/y)) ≡ Q(y²+1+0.25/y², −y−0.5/y)

    

    El cuadrado de la longitud de la cuerda es

 
|PQ|²  = (1+0.25/y²)² + (−2y−0.5/y)² = 0.0625/x⁴ + 0.75/y² + 3 + 4y²

 

    Anulando su derivada...

− 0.25/y⁵ − 1.5/y³ + 8y = 0

...multiplicando por −4/y...

1/y⁶ + 6/y⁴ − 32 = 0

...y con el cambio y = 1/√z...

z³ + 6z² − 32 = 0

    Como z = 1/y² no puede ser −4 ha de ser 2, así que y = ±√0.5, de donde P(0.5, ±√0.5).

 

    Faltaba comprobar que era la cuerda normal más corta...

RESOLUCIÓN 

    Yoyó Gaviota derivó la derivada...

    Mire, profe. La segunda derivada del cuadrado de la longitud de la cuerda es positiva...

1.25/y⁶ + 4.5/y⁴ + 8 > 0

1642. Las tres sagitas

     Mire, profe. Entre un triángulo rectángulo y su círculo circunscrito tenemos tres segmentos circulares. ¿Cuál es la relación entre sus sendas sagitas?

    

    Pepe Chapuza ha propuesto este reto... Lo ha acompañado con un dibujo con letras para poder identificar los tres lados del triángulo y las tres sagitas...

SOLUCIÓN

    Mire, profe. El circuncentro de un triángulo rectángulo se encuentra en el punto medio de la hipotenusa, por lo tanto z es el circunradio y se tienen las siguientes relaciones:

z = c/2     por lo que     c = 2z

x = z − b/2     por lo que     b = 2z − 2x

y = z − a/2     por lo que     a = 2z − 2y

    Utilizando ahora el teorema de Pitágoras...

a² + b² = c²

4z² + 4y² − 8zy + 4z² + 4x² − 8zx = 4z²

x² + y² + z² = 2xz + 2yz

 

    Nina Guindilla ha encontrado una relación entre las sagitas... pero siguió...

    Profe, mire. Se puede conseguir una relación equivalente...

x² + y² + z² − 2xz − 2yz + 2xy = 2xy

(z − x − y)² = 2xy

    Como z − x − y = c/2 − c/2 + b/2 − c(2 + a/2 = (a+b−c)/2 > 0 se tiene que

z − x − y = √2√x√y

z = x + y + √(2xy)

    Felicité a Nina... pero ella siguió...

    Inscribamos ahora en los segmentos circulares sendos círculos cuyos diámetros sean las correspondientes sagitas. ¿Qué relación hay entres las áreas de tales círculos?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota encontró la relación entre las áreas...

    Profe, mire. Sean X, Y, Z las áreas de los círculos de diámetro x, y, z, respectivamente. El área de un círculo se obtiene multiplicando el cuadrado de su radio por el número π, por ello...

X = πx²/4     por lo que     x = 2√X/√π

Y = πy²/4     por lo que     y = 2√Y/√π

Z = πz²/4     por lo que     z = 2√Z/√π

    Utilizando la primera relación que encontró Nina...

4X/π + 4Y/π + 4Z/π = 8√X√Z/π + 8√Y√Z/π

X + Y + Z = 2(√X+√Y)√Z

    Bastaba con recordar la relación entre longitudes y áreas...

1641. Las matemáticas del color

     A Pepe Chapuza le gusta mucho el arco iris...  Para incordiarle un poco le recordé que el espectro visible era una pequeñísima parte del conjunto de radiaciones electromagnéticas: las que el ojo humano era capaz de percibir...  Y que había muchos colores que no estaban en el arco iris...

    Profe, mire. No todas las personas ven los mismos colores... Hay ojos más sensibles que otros y los límites del espectro visible (ultravioleta e infrarrojo) varían de unas personas a otras... Además... sabemos que hay personas que confunden colores (daltonismo) por lo que no todos los cerebros interpretan de la misma manera los colores...

    A los siete colores del arco iris les corresponden estas longitudes de onda:

ROJO    700 nm

NARANJA    650 nm

AMARILLO    575 nm

VERDE    550 nm

AZUL CELESTE   480 nm

AÑIL    450 nm

VIOLETA    400 nm

    ¿Cómo se pueden obtener los colores que no están en el arco iris?

SOLUCIÓN

    Mire, profe. Que no todos los colores están en el arco iris lo saben muy bien los pintores, que tienen que mezclar pigmentos: es una mezcla sustractiva. En las pantallas la mezcla es aditiva y se realiza a partir de tres colores primarios: rojo R, verde V y azul A. Así, cada color queda determinado por tres coordenadas cromáticas (R, V, A). Por ejemplo, si para cada coordenada asignamos 4 valores equidistantes según la intensidad (0 = nada, 1 = poca, 2 = mucha, 3 = toda) tendremos una paleta de 4³ = 64 colores... Helos aquí por planos R+V+A = K, para 0 ≤ K ≤ 9.

    Nina Guindilla le ha dado color a las matemáticas... 

    El sonido también se propaga mediante ondas (sonoras) que hacen vibrar nuestros tímpanos. Investiga las matemáticas del ruido...

RESOLUCIÓN

    Profe, mire. Hay muchas matemáticas relacionadas con el sonido, especialmente con la música. Pero yo me voy a centrar en la voz humana: ¡hay matemáticas en la fonología! 

    El espectro audible humano depende de cada persona, ya que hay unos oídos más sensibles que otros. Oímos unas diez octavas (frecuencias que van desde 20 Hz hasta 20000 Hz aproximadamente). La frecuencia es responsable del tono, la amplitud lo es del volumen y los armónicos lo son del timbre de los sonidos...

    El discurso de Yoyó Gaviota empezó interesante...

    Mire, profe. En la voz humana se produce una variación del tono, del volumen y del timbre durante un intervalo de tiempo... Así, tono, volumen, timbre y tiempo son el fundamento de los fonemas de los idioma, del acento de las sílabas, de la entonación de las frases, de los dejes regionales y de esa idiosincrasia oral que nos permite reconocer a una persona e incluso averiguar su estado de ánimo con sólo escuchar... 

    Al igual que sabemos diferenciar un violín de un clarinete por su timbre, sabemos distinguir por ejemplo unas vocales de otras... y esto se puede explicar con matemáticas... 

    Yoyo sabía mantener el interés...

    

    Mire, profe... Se sabe, gracias al análisis de Fourier, que una onda se puede descomponer en armónicos, pues bien, el aparato fonador amortigua unos armónicos y realza otros (formantes) dotando a cada vocal de su peculiar timbre. Esto se consigue mediante la intervención de órganos móviles que modifican las cavidades por las que ha de pasar el aire expelido de los pulmones... como vamos a ver...

    Y a oír... porque Yoyó empezó a pronunciar vocales de distintos idiomas indicando cómo intervenían la mandíbula, la lengua, los labios... y hasta el velo del paladar...

    Profe, mire. Al representar gráficamente el inventario de vocales de un idioma resulta que se obtienen diagramas bastante similares tanto a partir de los formantes (fonética acústica) como a partir de los órganos (fonética articulatoria), confirmando la esperable vinculación entre ambas disciplinas... A cada vocal se le puede asignar unas coordenadas según los valores de los formantes o según las posiciones de los órganos. He aquí un diagrama de vocales...

    En el eje vertical, la mandíbula, que influye en el primer formante. En el eje horizontal, la lengua, que influye, aunque no exclusivamente, en el segundo formante. En "otro" eje, los labios, el velo del paladar, etc., que influyen en varios formantes...

    Me llamó la atención de este diagrama la disposición de los símbolos fonéticos (que igual respondía a sus propias realizaciones)... pero sobre todo me sorprendió la elección de los colores: Yoyó había asignado a cada eje un color primario en una curiosa sinestesia... ¡Yoyó no solo oía las vocales, también las "veía"!

1640. La circunferencia de Feuerbach

     Teníamos en la pizarra un triángulo ABC que no era equilátero... Habíamos localizado el baricentro G y el circuncentro J intersecando las medianas y las mediatrices... Había que localizar el ortocentro H a partir de G y de J... y Pepe Chapuza lo hizo rápidamente porque sabía JH = 3·JG. Pero después cogió el compás, pinchó en el punto medio del segmento JH y trazó una circunferencia que pasaba justamente por los puntos medios de los lados... mientras canturreaba...

    Mire, profe. Esta es la circunferencia de Feuerbach...

    Tuve que seguirle la corriente.. ¿Qué otros puntos estaban la circunferencia de Feuerbach?

SOLUCIÓN

    Mire, profe. ¡Es increíble! La circunferencia de Feuerbach también pasa por los pies de las alturas...

    Nina Guindilla había dibujado con precisión... Llegados a este punto... comenté que la circunferencia de Feuerbach también era conocida como circunferencia de los nueve puntos... ¿Qué otros tres puntos estaban en la circunferencia de Feuerbach?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota observó que la circunferencia de Feuerbach pasaba por los puntos medios de los segmentos AH, BH y CH...

    Mire, profe... Ya tenemos los nueve puntos...

    La precisión en el dibujo no es una demostración matemática... Se deja al lector que investigue...

1639. Carrusel de cuádricas.

     Pepe Chapuzas me regaló un tiovivo en miniatura que giraba y todo. No os podéis imaginar qué cosas estaban dando vueltas montadas en él: las cuádricas...

    Profe, mire. Las cónicas son muy sosas y solo hay de tres tipos: las cerradas (elipses y circunferencias), las abiertas de una rama (parábolas) y las de dos ramas (hipérbolas). La familia de las cuádricas es mucho más interesante... Mire cómo se divierten en el carrusel...

    Le recordé a Pepe que, las cónicas y las cuádricas eran, le gustara o no, parientes.

    Busca qué son las cuádricas y nos lo cuentas.

SOLUCIÓN

    Mire, profe. Las cuádricas son superficies curvas emparentadas con las cónicas, que son líneas curvas. El parentesco entre las dos familias se conoce porque ambas responden a ecuaciones de segundo grado... En el carrusel de Pepe veo un elipsoide naranja, un hiperboloide hiperbólico verde, un cono rosa y un paraboloide elíptico azul. Estarán esperando en la cola un hiperboloide elíptico, un cilindro elíptico, un cilindro hiperbólico, un cilindro parabólico y un paraboloide hiperbólico.

    Nina Guindilla encontró finalmente estas cuádricas... En total nueve miembros.

    Nina comentó que las cuádricas podían ser de revolución pero que eran solo casos particulares...

    Profe, la esfera no es más que un elipsoide que salió redondo... Es la "perfecta" de la familia...

    Al igual que las cónicas, las cuádricas tienen ecuaciones reducidas. ¡Búscalas!

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota las trajo al día siguiente:

    Mire, profe...

    El elipsoide:  x²/a² + y²/b² + z²/c² = 1 .

    El hiperboloide elíptico:  x²/a² + y²/b² − z²/c² = 1 .

    El hiperboloide hiperbólico:  x²/a² + y²/b² − z²/c² = −1 .

    El paraboloide elíptico:  x²/a² + y²/b² − z = 0 .

    El paraboloide hiperbólico:  x²/a² − y²/b² − z = 0 .

    El cono:  x²/a² + y²/b² − z²/c² = 0 .

    El cilindro elíptico:  x²/a² + y²/b² = 1 .

    El cilindro hiperbólico:  x²/a² − y²/b² = 1 .

    El cilindro parabólico:  x²/a² − y = 0 .

    Yoyó no se despidió sin mostrarnos la ecuación de la esfera.

    Profe, mire. En el "elipsoide redondo" se tiene que a=b=c.

    La esfera:  x²/a² + y²/a² + z²/a² = 1 , o mejor  x² + y² + z² = a² , donde a es el radio...

    En las otras cuádricas de revolución (respecto del eje z) se tiene que a=b, en elipsoides (esferoides), hiperboloides elípticos, hiperboloides hiperbólicos, paraboloides elípticos, conos y cilindros elípticos.

1638. Inversiones arriesgadas...

     Se estaba discutiendo sobre la naturaleza de 1/0, esto es, el inverso de cero. Unos afirmaban que era infinito y otros que era una indeterminación... Pepe Chapuza pensó en los límites... y se extralimitó...

    Mire, profe. Todo depende de cómo me acerque a 0... Si me acerco por la derecha el resultado es +∞, pero si lo hago por la izquierda entonces nos sale −∞. Pero también puedo acercarme de una forma más divertida: {+0,1; −0,01; +0,001; −0,0001; ...} y entonces la cosa se complica... Y si estamos en el plano complejo, nos podemos acercar a 0 por arriba, por abajo... y hasta en espiral, jugando al despiste...

    Curiosamente, en el plano complejo extendido el resultado es menos complejo: 1/0 = ∞. Aquí. el inverso de cero es infinito (sin signo)... Así que el plano complejo extendido es el "terreno" ideal para "invertir".

    Recordé que el plano complejo extendido consistía en añadir ∞ al conjunto de números complejos... No olvidemos que 1/∞ = 0..., o, como diría Pepe..., el inverso de infinito es cero.

    Investiga cómo se invierten las rectas en el plano complejo extendido...

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla distinguió dos casos según la recta pasara o no por 0... Trabajó en forma trigonométrica: z = m cis θ, 1/z = 1/m cis −θ... Y utilizó la variable real ω ∈ (−π/2, π/2]...

    Profe, mire. En el plano complejo extendido todas las rectas pasan por el ∞, así que sus inversas pasan todas por el 0.

    a) Si la recta r con ángulo θ pasa por 0 será de la forma r ≡ {tgω cis θ}, por lo que al invertir nos quedaría 1/r ≡ {cotgω cis −θ} ≡ r̄. La inversa de la recta es su recta conjugada. El eje real y el eje imaginario se invierten es sí mismos...

    b) Si r no pasa por 0 y su punto de menor módulo es m cis θ, será r ≡ {m·secω cis θ+ω}, por lo que al invertir tenemos 1/r ≡ {1/m·cosω cis −θ−ω}, que es una circunferencia que pasa por 0. El diámetro de esta circunferencia es 1/m.

    Hay que advertir que tg(π/2) = sec(π/2) = ∞. No olvidemos el "terreno" donde estamos "invirtiendo"...

    Investiga ahora cómo se invierten las circunferencias...

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota distinguió también dos casos...

    Mire, profe. La circunferencia c puede pasar o no por 0...

    a) Si c pasa por 0 y su punto de mayor módulo es M cis θ, será c ≡ {M·cosω cis θ+ω}, por lo que al invertir sale 1/c ≡ {1/M·secω cis −θ−ω}, que es una recta que dista 1/M de 0. Es el caso recíproco del apartado b) de Nina...

    b) Si c no pasa por 0 y si m cis θ y M cis θ son los puntos de menor y mayor módulo de c (si 0 es el centro y n es el radio de c tomamos m = −n, M = n y θ = 0), entonces para un punto z que recorre c se tiene que (M cis θ − z) / (m cis θ − z) = tgω cis π/2. Así, para los inversos...

(1/(M cis θ) − 1/z) / (1/(m cis θ) − 1/z) =

=  (z − M cis θ) / (z − m cis θ) · (m cis θ) / (M cis θ) =

= m/M·tgω cis π/2

por tanto, 1/c es otra circunferencia que tampoco pasa por 0 y cuyos puntos de menor y mayor módulo son 1/M cis −θ y 1/m cis −θ, respectivamente. La circunferencia unidad se invierte en sí misma y también las circunferencias con centro real si m·M = 1.

    Se deja al lector que compruebe los lugares geométricos...

1637. Tres planos en el espacio...

     Le había tocado a Pepe Chapuza dar la clase de la posición relativa de dos planos:

    Mire, profe. Es muy fácil saber cómo se encuentran dos planos en el espacio a partir de sus ecuaciones generales... Ambas ecuaciones forman un sistema que se puede escribir en forma matricial AX = B, donde A es la matriz (2x3) de coeficientes, X la matriz (3x1) de coordenadas y B la matriz (2x1) de términos independientes... Si A&B es la matriz (2x4) formada por las columnas de A y de B (matriz ampliada), tenemos tres posibilidades... (Vamos a utilizar el teorema de Rouché...)

    a) Si rg(A) = rg(A&B) = 1, el sistema es compatible con indeterminación de grado 2: los dos planos son coincidentes, es decir, tenemos dos ecuaciones del mismo plano.

    b) Si rg(A) = 1 y rg(A&B) = 2, el sistema es incompatible: los dos planos son paralelos y no tienen ningún punto en común.

    c) Si rg(A) = rg(A&B) = 2, el sistema es compatible con indeterminación de grado 1: los dos planos son secantes y su intersección es una recta.

    Podemos hacer una tabla:

    Los rangos de A y de A&B se calculan a simple vista: cuando el rango es 1 las filas son proporcionales... Si rg(A)=1, los vectores normales de los planos son paralelos; y si rg(A&B)=1, las ecuaciones de los planos son equivalentes...

    Estamos en condiciones para preparar la siguiente clase: la posición relativa de tres planos.

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla empezó la clase:

    Profe, mire. Ahora las tres ecuaciones forman un sistema cuadrado AX = B, donde las matrices A, X y B son de dimensiones 3x3, 3x1 y 3x1, respectivamente. Por tanto la dimensión de A&B es 3x4... El caso es que hay ocho posiciones relativas de tres planos en el espacio pero solo hay cinco posibilidades con los rangos de A y A&B ya que la diferencia entre estos rangos es 0 o 1... Para distinguir todos los casos hay que recurrir a la proporcionalidad de las filas (que según Pepe se ve a simple vista) y es como si estudiáramos la posición de los planos por parejas. En la siguiente tabla se indica con un asterisco la ausencia de proporcionalidad de filas:

    La siguiente clase es de la posición relativa de dos rectas en el espacio... ¿Quién la prepara?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota dio la clase:

    Mire, profe. Si partimos de las ecuaciones paramétricas de las rectas tenemos un sistema. Podemos eliminar las coordenadas mediante igualación y nos queda AΛ=B, donde A es la matriz (3x2) de coeficientes, Λ es la matriz (2x1) de parámetros y B es la matriz (3x1) de términos independientes. A&B es de dimensión 3x3... Tenemos cuatro casos como se observa en la siguiente tabla:

    Ahora, rg(A)=1 indica que los vectores directores de las rectas son paralelos...

    Remarqué el hecho de que en la geometría espacio había una posibilidad que no ocurría en la geometría del plano, ¿verdad?

1636. El quinto postulado

     Estaba hablando de Euclides, el padre de la geometría, y de su obra Los Elementos. Decía que Euclides partía de cinco postulados (o axiomas) y a partir de ellos construía la geometría utilizando la lógica. Y comentaba que el quinto postulado, el de las paralelas, ha traído de cabeza a muchos matemáticos de muchos siglos... Unos porque quisieron "demostrarlo" y otros porque quisieron "negarlo"... Dejé que mis alumnos buscaran información... Pepe Chapuza encontró esto:

    Mire, profe. El quinto postulado afirmaba que en un plano, dados una recta r y un punto P que no fuera de r, había una única recta s que pasara por P y que no cortara a r.

    Esto era evidente: la paralela. ¿Merecía ser un postulado? El caso es que los que quisieron demostrarlo "fracasaron" y los que lo negaron "triunfaron"... Se construyeron geometrías distintas (no euclídeas) con un quinto postulado diferente. Si decimos que por P pasan más de una paralela a r tenemos la geometría hiperbólica y si decimos que por P no pasa ninguna paralela a r tenemos la geometría elíptica...

    Había que olvidarse de la evidencia... ¿Quién puede aportar a la clase más información?

SOLUCIÓN

    Mire, profe. La geometría hiperbólica también se denomina lobachevskiana y fue desarrollada por Gauss, Bolyai y Lobachevsky; la geometría elíptica también se denomina riemanniana y fue desarrollada por Cayley, Klein y Riemann.

    Nina Guindilla también nos reveló que en las geometrías no euclídeas no se cumple el teorema de Pitágoras... ¿Alguna otra cosa so se cumple en las geometrías no euclídeas?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota comento que muchas cosas son diferentes en las geometrías no euclídeas, por ejemplo, la suma de los ángulos de un triángulo...

    Mire, profe. En la geometría elíptica la suma es mayor que 180º: parece que los triángulos están hinchados; en la geometría hiperbólica la suma es menor que 180º: parece que los triángulos están pinchados... Jajaja...