1630. ¡Más matemáticas!

     Muchas veces me preguntan para qué sirve tal o cual cosa que vemos en clase de Matemáticas... Y suelo contestar con las aplicaciones en la vida real o en las otras ciencias; pero siempre hago hincapíé en que las matemáticas sirven para hacer más matemáticas. Así que propuse tareas de repaso de cursos anteriores preguntando qué más matemáticas se podían hacer con los resultados. Una de esas tareas fue factorizar el polinomio

x⁵ − x⁴ − 7x³ + 11x² − 8x + 12

    Pepe Chapuza no se lo pensó dos veces:

    Mire, profe. La factorización es  (x+3) (x−2)² (x²+1) . Y se puede utilizar para descomponer una fracción algebraica en suma de fracciones simples...

    Pues eso... ¡Más matemáticas!

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla escribió la siguiente fracción algebraica:

    Profe, mire. Gracias a la factorización de Pepe sabemos que esta fracción algebraica se puede descomponer de la forma

A/(x+3) + B/(x−2) + C/(x−2)² + (Dx+E)/(x²+1)

de donde

11x⁴ − 18x³ − 35x² − 46x + 50  =

=  A(x−2)²(x²+1) + B (x+3)(x−2)(x²+1) + C(x+3)(x²+1) + (Dx+E)(x+3)(x−2)²

    Si  x = −3 , 891+486−315+138+50 = 250A; A = 1250 / 250 = 5.

    Si  x = 2 , 176−144−140−92+50 = 25C; C = −150 / 25 = −6.

    Si  x = i , 11+18i+35−46i+50 = (Di+E)(13−9i); 96 = 9D+13E, −28 = 13D−9E; D = 2, E = 6.

    Si  x = 0 , 50 = 4A−6B+3C+12E = 20−6B−18+72; B = (−24)/(−6) = 4.

 

    Profe, mire. Esta descomposición se puede utilizar para integrar la fracción algebraica...

    Pues eso... ¡Más matemáticas!

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota integró:

    Mire profe.

∫ (11x⁴−18x³−35x²−46x+50) / (x⁵−x⁴ 7x³+11x²−8x+12) dx =

= ∫ ( 5/(x+3) + 4/(x−2) − 6/(x−2)² + 2x/(x²+1) + 6/(x²+1) ) dx =

= 5 ln |x+3| + 4 ln |x−2| + 6/(x−2) + ln (x²+1) + 6 arctg x + C

1629. Integrales cíclicas

    Había propuesto integrar la función  f(x) = ln |x| / x  y Pepe Chapuza lo hizo por partes...

    Mire, profe. La derivada de  ln |x|  es  1/x  , así,  F(x) = ln² |x| − F(x)  y  F(x) = ln² |x| / 2 .

    Era un caso de integración cíclica: al integrar por partes se obtiene la misma primitiva. Aunque esta integral se podía haber hecho mediante un cambio de variable, ¿verdad?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla llamó  w = ln |x| , entonces  dw = dx / x .

    Profe, mire. ∫ f(x) dx = ∫ w dw = w²/2 + C = ln² |x| / 2 + C .

    No era un ejemplo demasiado complicado así que propuse esta otra integración cíclica...

 

  P(x) ∈ ∫ eˣ cos(x/3) dx

 

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota derivó la función exponencial e integró la trigonométrica, aunque podría haberlo hecho al revés: en definitiva, el comportamiento es cíclico...

    Profe, mire. Si indico la derivación con una flecha, tenemos

 

eˣ  →  eˣ  →  eˣ 

cos(x/3)  ←  3 sen(x/3)  ←  −9 cos(x/3) 

por tanto

P(x) = eˣ 3 sen(x/3) + eˣ 9 cos(x/3) − 9 P(x)

10 P(x) = eˣ 3 sen(x/3) + eˣ 9 cos(x/3)

P(x) = eˣ/10 ( 3 sen(x/3) + 9 cos(x/3) )

    Siempre es bueno comprobar..., así que voy a derivar la primitiva...

P'(x) = eˣ/10 ( 3 sen(x/3) + 9 cos(x/3) + cos(x/3) − 3 sen(x/3) ) = eˣ cos(x/3)

    Yoyó ha tenido que integrar por partes dos veces para conseguir cerrar el ciclo...

1628. No tan inmediata...

     En la pizarra propuse la siguiente integral indefinida:

    Pepe Chapuza la calculó así...

    Profe, mire. El integrando es un polinomio, así que es una integral inmediata... Solo tengo que desarrollar el binomio de Newton para lo cual echo mano del triángulo de Pascal...

56 ∫ x (x⁶ + 6x⁵ + 15x⁴ + 20x³ + 15x² + 6x + 1) dx =

= 56 ∫ (x⁷ + 6x⁶ + 15x⁵ + 20x⁴ + 15x³ + 6x² + x) dx =

= 56 (x⁸/8 + 6x⁷/7 + 15x⁶/6 + 20x⁵/5 + 15x⁴/4 + 6x³/3 + x²/2) + C =

= 7x⁸ + 48x⁷+ 140x⁶ + 224x⁵ + 210x⁴ + 112x³ + 28x² + C

    No era tan inmediata... ¿Algún atajo?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla hizo la integral por partes:

    Profe, mire. Si  u = 56 x ,  du = 56 dx ; y si  dv = (x+1)⁶ dx ,  v = (x+1)⁷/7 . Entonces

56 x (x+51)⁷/7 − ∫ 56 (x+1)⁷/7 dx  =  8x (x+1)⁷ − (x+1)⁸ + K

    ¿Más atajos?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota realizó un cambio de variable:

    Profe, mire. Si  t = x+1 ,  dt = dx . Entonces

∫ 56 (t−1) t⁶ dt = ∫ (56 t⁷ − 56 t⁶) dt = 7t⁸ − 8t⁷ + K = 7(x+1)⁸ − 8(x+1)⁷ + K

    Queda para el lector comprobar que las primitivas encontradas por Pepe, Nina y Yoyó difieren como mucho en una constante, esto es, son polinomios que apenas difieren, si acaso, en el término independiente...

1627. Un ángulo curvilíneo

     Había escrito en la pizarra las funciones  f(x) = x³  y  g(x) = 2x²  y pedí calcular los ángulos que formaban las curvas en los puntos de intersección. Aclaré que un ángulo curvilíneo era el ángulo determinado por las rectas tangentes a las curvas. Y que la existencia de esas rectas estaba asegurada por la derivabilidad de los monomios... Pepe Chapuza, que conocía muy bien los monomios, dibujó un bosquejo de las gráficas... y calculó esos puntos comunes...

    Mire, profe. La ecuación  x³ = 2x²  es equivalente a  x² (x−2) = 0 . Por lo que los puntos comunes son O(0, 0) y P(2, 8). Las derivadas nos proporcionan las pendientes de las rectas tangentes...

f '(x) = 3x²     f '(0) = 0     f '(2) = 12

g'(x) = 4x     g'(0) = 0     g'(2) = 8

    En O el ángulo es de 0º puesto que las dos rectas tangentes son horizontales. Para calcular el ángulo en P tenemos los vectores directores F = (1, 12) y G = (1, 8) de las rectas tangentes... y aplicamos la fórmula...

arccos ((F·G)/(F·G)) = arccos (97/√145/√65) = arccos 0,99915... = 2º 21' 41"

    ¿Quién calcula el ángulo sin recurrir a los vectores directores?

SOLUCIÓN

    Nina guindilla trabajó directamente con las pendientes.

    Mire, profe. Puedo utilizar la fórmula del arcotangente...

arctg (((f '(2)−g'(2))/(1+f '(2)·g'(2))) = arctg (4/97) = arctg 0,041237... = 2º 21' 41"

    ¿Alguna otra posibilidad?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota lo hizo de otra manera.

    Mire, profe. La fórmula de Nina es la de la tangente del ángulo diferencia...

arctg (f '(2)) − arctg (g'(2)) = arctg 12 − arctg 8 = 85º 14' 11" − 82º 52' 30" = 2º 21' 41"

1626. El vaso "perfecto"

     Queríamos diseñar un vaso cilíndrico cuyas proporciones permitieran "una rentabilidad inmejorable y un rendimiento insuperable", esto es..., la mayor capacidad posible con la menor superficie posible, es decir..., ¿qué razón h/r entre la altura y el radio del cilindro serían las idóneas para maximizar el volumen V y minimizar el área A a la vez? (Las medidas h, r, V y A son del interior del vaso.) Pepe Chapuzas saltó del pupitre...

    ¿En qué quedamos? ¿Maximizamos el volumen o minimizamos el área? 

    ¿Qué pensáis los demás? ¿Diseñamos el vaso "perfecto"?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla comentó que del cilindro en realidad no nos daban ni el área ni el volumen así que podíamos tomar una cosa como función enlace y la otra como función objetivo. De hecho tampoco nos pedían ni la altura ni el radio sino la relación entre ambos...

    Profe, mire. Obviando la ambigüedad del enunciado...

A = πr² + 2πrh

V = πr²h

h = V/π/r²

A = .πr² + 2V/r

dA/dr = 2πr − 2V/r² = 0

2πr³ = 2V

r = ∛(V/π)

h = V/π/∛(V/π)² = ∛(V/π)

h/r = 1

d²A/dr² = 2π + 4V/r³ > 0

    El vaso será muy "perfecto", profe, pero demasiado cómodo no parece...

    Dejando aparte su opinión, Nina ha minimizado A a partir de V. ¿Quién lo hace al revés?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota lo hizo al revés... Dada A maximizó V...

    Mire, profe.

h = A/2/π/r − r/2

V = πr²(A/2/π/r − r/2) = Ar/2 − πr³/2

dV/dr = A/2 − 3πr²/2 = 0

A/2 = 3πr²/2

r = √(A/3/π)

h = A/2/π/√(A/3/π) − √(A/3/π)/2 = 3√(A/3/π)/2− √(A/3/π)/2 = √(A/3/π)

h/r = 1

d²V/dr² = − 3πr < 0

    Evidentemente salía lo mismo: el radio y la altura tenían que ser iguales... Comenté en clase que este cambio de perspectiva entre enlace y objetivo se puede efectuar en muchos problemas de optimización...

1625. Belleza integral...

     Pepe Chapuza sabía que el tema de integrales daba miedo, así que se propuso asustar:

    Profe, mire que integral...

    ¡Ánimo, valientes! No os enfrentáis al miedo sino a la belleza...

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla no tardó en coger al toro por los cuernos...

    Profe, mire. He tenido que acordarme de que

e^x = x⁰/0! + x¹/1! + x²/2! + x³/3! + x⁴/4! + x⁵/5! + ···

e = 1 + 1 + 1/2 + 1/3! + 1/4! + 1/5! + ···

    ¡Bravo!

    No se fue Nina sin plantear otra belleza integral...

    Profe, mire. Si E es la función "parte entera" calcule   ʃ₀¹ E(10^x) dx .

RESOLUCIÓN

    Profe, mire. Se trata de la integral definida de una función escalonada. En el dibujo se comprueba que el área que buscamos (la azul) es (el rectángulo menos la amarilla):

9 − log2 − log3 − log4 − log5 − log6 − log7 − log8 − log9 =

= 9 − (log2+log3+log4+log5+log6+log7+log8+log9) =

= 9 − log(2·3·4·5·6·7·8·9) =

= 9 − log 9!

cuyo valor aproximado es 3,44.

1624. Un círculo mágico.

    Pepe Chapuza nos mostró el siguiente círculo mágico:

    Profe, mire. Aparecen los números del 1 al 32 y en cada circunferencia y en cada diámetro los números suman siempre 132 (66 en cada semicircunferencia y en cada radio)... 

    Mire, profe. Se puede poner esta misma disposición en una esfera (sería una esfera mágica), distribuyendo los números en paralelos y meridianos...

    En realidad, eran modificaciones de cuadrados mágicos. ¿Puedes traer a clase alguna figura mágica?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla trajo una estrella mágica de siete puntas y dos vueltas:

    Mire, profe. Se sabe que no hay estrellas mágicas de cinco puntas (con los números del 1 al 10). Y la estrella mágica de seis puntas es archiconocida... Así que he aquí mi estrella mágica favorita...

    ¿Alguna aportación más?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota se presentó con dos estrellas mágicas más: la de ocho puntas y la de nueve, ambas de dos vueltas...

    Mire, profe. En una estrella mágica de N puntas aparecen los números del 1 al 2N. La suma de todos estos números es N·(2N+1), así que la suma en cada lado es 2·(2N+1) = 4N+2. Esto se puede comprobar con las estrellas de 7, 8 y 9 puntas que hemos visto:

4·7 + 2 = 30

4·8 + 2 = 34

4·9 + 2 = 38

    Sigue buscando la magia de las matemáticas...

1623. Se acaba la función...

    Había pedido estudiar la función  f(x) = |x|^x  si  x ≠ 0  y  f(0) = 1 . Pepe Chapuza empezó con los ítems explicados en clase...

1) Dominio:

    Para   x ≠ 0  f(x)  es una potencia de base positiva bien definida y también está bien definida la ordenada en el origen, por lo que  Dom(f) = (−∞, ∞) .

2) Simetría:

    No es ni par ni impar. He aquí un contraejemplo:

f(2) = 2² = 4

f(−2) = 2⁻² = 1/4

−f(2) = −4

3) Signo:

    La función es siempre positiva porque  |x|^x > 0  y  1 > 0 . La gráfica está toda ella sobre el eje de abscisas, esto es, en los cuadrantes primero y segundo.

    Pepe ha dado los primeros pasos. ¿Quién quiere seguir?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla abordó tres ítems más...

4) Continuidad:

    Solo hay que calcular límites cuando  x → 0 .

lím_x→0 |x|^x = lím_x→0 exp_e log_e |x|^x = exp_e lím_x→0 x·log_e|x| = exp_e lím_x→0 log_e|x| / (1/x) =

    Aquí aplico la regla de L'Hôpital...

= exp_e lím_x→0  (1/x) / (−1/x²) = exp_e lím_x→0 (−x) = e⁰ = 1 = f(0)

    Por lo tanto la función  f  es continua.

5) Tendencias:

    Cuando  x → −∞ ,  lím_x→−∞ |x|^x = ∞^−∞ = 0 . Hay una asíntota horizontal en  y = 0 .

    Cuando  x → ∞ ,  lím_x→∞ |x|^x = ∞^∞ = ∞ ;  lím_x→∞ |x|^x / x =  lím_x→∞ x^x−1 = ∞^∞−1 = ∞ . Hay una rama parabólica vertical.

    Así que  Rec(f) = (0, ∞) .

6) Derivabilidad:

    Utilizo la derivación logarítmica.

 log_e f(x)  =  x · log_e|x|

f '(x) / f(x)  =   1 · log_e |x|  +  x · 1/x  =  log_e |x| + 1

f '(x)  =  |x|^x · ( log_e|x| + 1 )

    Calculo límites cuando  x → 0 .

lím_x→0  |x|^x · ( log_e|x| + 1 ) = lím_x→0 |x|^x · lím_x→0 ( log_e|x| + 1 ) = 1 · (−∞+1) = −∞

    En sentido estricto,  f  no es derivable en  x = 0  (punto singular), pero si admitimos derivadas infinitas entonces tenemos que  f '(0) = −∞ . La gráfica es, además de continua, suave.

    ¡Ánimo, que queda poco!

RESOLUCIÓN

    Para "terminar la función" Yoyó Gaviota estudió la monotonía y la curvatura, lo que le permitió esbozar la gráfica...

7) Monotonía:

    Los puntos críticos cumplen  f '(x) = 0 , por tanto

 log_e|x| + 1 = 0

log_e|x| = −1

|x| = 1/e

x = ± 1/e

    Y tenemos

x =	−1	−1/e	0	1/e	1
f '(x) =	1	0	−∞	0	1

    Por lo que  f  es creciente en  (−∞, −1/e) ∪ (1/e, ∞)  y decreciente en  (−1/e, 1/e) . Por lo tanto hay un máximo local en  x = −1/e  y un mínimo local en  x = 1/e . (En  x = 0  hay un punto de inflexión vertical convexo-cóncavo.)

8) Curvatura:

    La segunda derivada,  f "(x) = |x|^x · ( log_e|x| + 1 )² + |x|^x · (1/x) , se anula cuando

( log_e|x| + 1 )² + 1/x = 0

( log_e|x| + 1 )² = −1/x

por lo que tiene que ser  x < 0 

log_e(−x) + 1 = 1/√(−x)

    La solución  x = −1  es obvia

ln 1 + 1 = 0 + 1 = 1

1/√1 = 1/1 = 1

y es única porque  log_e(−x) + 1  decrece y  1/√(−x)  crece.

    Y se deduce, de los ítems 5 y 6, que en  x = 0  hay un punto de inflexión vertical convexo-cóncavo. Así  f "(0⁻) = −∞  y  f "(0⁺) = +∞  (*)

x =	−e	−1	−1/e	0	1
f "(x) =	> 0	0	< 0	(*)	> 0

     Por lo que  f  es cóncava en  (−∞, −1) ∪ (0, ∞)  y convexa en  (−1, 0) . Y hay otro punto de inflexión, este oblicuo y cóncavo-convexo, en  x = −1 .

9) Gráfica:

    Con todos estos datos podemos representar la función... (Al menos un esbozo.)

1622. Un positivo en juego

    Había que corregir un ejercicio en la pizarra... ¡Había un positivo en juego! Pedí voluntarios...

    Vi siete manos alzadas y dudaba a quién sacar, así que decidí que sería el azar de un sorteo el que iba a elegir por mí: escribí un número del 1 al 7 en la pizarra sin que nadie lo viera y lo tapé, y pedí a los voluntarios, siguiendo el orden de la lista de clase, que fueran diciendo un número del 1 al 7 hasta que alguno acertara. Enseguida el último protestó argumentando que los anteriores tenían ventaja ya que podían quitarle el número que tenía pensado o, lo que era peor, podían acertar, lo cual era bastante probable, y ya ni siquiera tendría la oportunidad de participar en el sorteo ni de llevarse el positivo...

    Pepe Chapuza replicó que era un procedimiento justo y que todos tenían la misma probabilidad de salir a la pizarra, participaran o no el sorteo, por paradójico que pareciera...

    ¿Tenía razón Pepe?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla llamó A₁, A₂, A₃, A₄, A₅, A₆ y A₇ a los sucesos que indican que el alumno 1.º, 2.º, 3.º, 4.º, 5.º, 6.º o 7.º, respectivamente, acertará el número de la pizarra.

    Mire, profe.

    La probabilidad de que el alumno 1.º salga a la pizarra es P(A₁) = 1/7.

    La probabilidad de que salga el 2.º es P(A̅₁∩A₂) = P(A̅₁)·P(A₂|A̅₁) = 6/7 · 1/6 = 1/7.

    La del 3.º es P(A̅₁∩A̅₂∩A₃) = P(A̅₁)·P(A̅₂|A̅₁)·P(A₃|A̅₁∩A̅₂) = 6/7 · 5/6 · 1/5 = 1/7.

    Y así sucesivamente. ¡Todos tienen la misma probabilidad de salir!

    Para ilustrar otro ejemplo de probabilidades aparentemente paradójicas mencioné el problema de Monty Hall...

    En un concurso presentado por Monty había tres puertas. Una ocultaba un coche y las otras sendas cabras... El concursante elegía una puerta y antes de abrirla Monty abría otra puerta por la que salía una cabra. En ese momento Monty permitía al concursante cambiar su elección y abrir cualquiera de las dos puertas que quedaban... ¿Tú qué habrías hecho, abrir la puerta elegida inicialmente o la otra?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota dudó un rato pero al final se decidió:

    Profe, mire. La probabilidad de que el coche esté en la puerta elegida inicialmente es 1/3, por lo tanto la probabilidad de que no esté es el doble, 2/3. Al salir la cabra por una puerta no elegida, la probabilidad de que el coche esté en la otra puerta no elegida es precisamente ese 2/3. ¡Esa es la puerta que hay que abrir!

1621. Página de sucesos...

    Mire, profe. Dado el experimento aleatorio típico de lanzar un dado, consideremos los sucesos

A = {2, 4, 6}   (sale un número par)

B = {3, 4, 5, 6}   (sale mayor que 2)

C = {4, 5, 6}   (sale mayor que 3)

    Pues mire. Resulta que A y B son independientes pero A y C no lo son.

    Los compañeros se sorprendieron de lo que acababa de afirmar Pepe Chapuza, dada la similitud de los sucesos B y C. Sin embargo era verdad, ¿verdad?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla hizo los cálculos...

    Mire, profe. Dos sucesos son independientes si la probabilidad de la intersección de ambos coincide con el producto de sendas probabilidades. Con la regla de Laplace...

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}   (suceso seguro)

A ∩ B = A ∩ C = {4, 6}

P(A ∩ B) = P(A ∩ C) = 2/6 = 1/3

P(A) · P(B) = 3/6 · 4/6 = 1/3

P(A) · P(C) = 3/6 · 3/6 = 1/4

    La explicación es que en los sucesos B y E hay tantos resultados pares como impares, sin embargo en el suceso C hay más resultados pares que impares.

    ¿Qué ocurriría si se lanzan dos dados?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota calculó los casos...

    Profe, mire:

    Casos posibles, 6·6 = 36

    Casos favorables de A, 36/2 = 18

    Casos favorables de B, 36 − 1 = 35

    Casos favorables de C, 36 − 3 = 33

    Casos favorables de A ∩ B, 18 − 1 = 17

    Casos favorables de A ∩ C, 18 − 1 = 17

P(A ∩ B) = P(A ∩ C) = 17/36

P(A) · P(B) = 18/36 · 35/36 = 35/72

P(A) · P(C) = 18/36 · 33/36 = 11/24

    ¿Lo ve? ¡Ahora no hay sucesos independientes!

1620. Intersecciones...

     Pepe Chapuza proyectó un diagrama de Venn en el que se mostraba las intersecciones de los alfabetos latino, griego y cirílico. Aunque en realidad, estas dependían de la tipografía empleada y de los idiomas escogidos...

    Busca intersecciones interesantes...

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla nos deleitó con estas intersecciones:

    ¿Algo más?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota trajo una perogrullada de intersección..., pero de matemáticas: