1617. Doblemente reglada... (2.ª parte)

     Mire, profe. Estamos acostumbrados a ver los paraboloides de revolución (las antenas parabólicas). Pero hay otros paraboloides: los paraboloides elípticos, entre cuyas secciones planas hay parábolas, elipses y puntos; y los paraboloides hiperbólicos, entre cuyas secciones planas hay parábolas, hipérbolas... y ¡pares de rectas secantes!

    Pepe Chapuza nos dibujó una especie de "silla de montar". Lo que venía a decir Pepe era que los paraboloides hiperbólicos eran superficies doblemente regladas. ¿Realmente esto era así?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla conocía bien la ecuación reducida de la "silla de montar".

x²/a² − y²/b² = z

    Mire, profe. La parábola (au, 0, u²), u ∈ ℝ, está en el paraboloide ya que  (au)²/a² − 0²/b² = u² .

    Para cada punto de esta parábola, la recta (au+av, bv, u²+2uv), v ∈ ℝ, está contenida en el paraboloide ya que  (au+av)²/a² − (bv)²/b² = u² + v² + 2uv − v² = u² + 2uv . Lo mismo se puede decir de la recta (au+aw, −bw, u²+2uw), w ∈ ℝ, con lo que efectivamente la "silla de montar" es doblemente reglada.

    Solo faltaba comprobar que estas rectas generaban todo el paraboloide...

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota sabía que había que calcular para cada punto P(X, Y, Z) del paraboloide los parámetros u, v y w.

    Profe, mire. 

    De la segunda coordenada tenemos  v = Y/b  y  w = −Y/b . 

    De la primera coordenada tenemos  u = X/a−v = X/a−Y/b  o  u = X/a−w = X/a+Y/b . 

    Finalmente comprobamos la tercera coordenada (por si las moscas)...

u² + 2uv = X²/a² + Y²/b² − 2XY/a/b + 2XY/a/b −2Y²/b² = X²/a² − Y²/b² = Z

u² + 2uw = X²/a² + Y²/b² + 2XY/a/b − 2XY/a/b −2Y²/b² = X²/a² − Y²/b² = Z

1616. Los repunits

    Mire, profe. Un repunit es un número formado por unos. Por ejemplo, 11111111 es un repunit... Es el octavo repunit: un repunit con ocho unos. Lo llamaremos R(8). Así, R es la sucesión de los repunits...

    Evidentemente, el 2 no puede ser divisor de un repunit. Tampoco el 5. Los criterios de divisibilidad del 2 y del 5 excluyen a los números que acaban en 1.

    Sin embargo, cualquier otro número primo (distinto de 2 y de 5) es divisor de algún repunit... 

    Esta afirmación de Pepe Chapuza habrá que demostrarla...

SOLUCIÓN

    Profe, mire. 

    Sea P un primo distinto de 2 y de 5. Y consideremos los repunits R(N) con 1 ≤ N ≤ P+1. 

    Al dividir estos repunits entre P obtenemos sus módulos (restos) M(N), 1 ≤ N ≤ P+1.

    Como mucho, puede haber P módulos distintos ya que el resto siempre es menor que el divisor (0 ≤ M(N) < P) por lo que algún módulo se repite, esto es, existen N' y N" (supongamos que N' < N") para los que M(N') = M(N").

    Así pues, como P es divisor tanto de R(N')−M(N') como de R(N")−M(N"), también será divisor de su diferencia R(N")−M(N')−R(N')+M(N') = R(N")−R(N').

    Profe, mire lo que pasa cuando restamos dos repunits:

   ¿Lo ve? R(N")−R(N') = R(N"−N')·10^N’= R(N"−N')·2^N’·5^N’. O sea, el primo P, que no es ni 2 ni 5, es divisor de R(N"−N')·2^N’·5^N’ y por tanto tiene que ser divisor del repunit R(N"−N').

    Después de la exposición de Nina Guindilla solo nos faltaba una fórmula para los repunits...

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota nos mostró la fórmula R(N) = (10^N − 1) / 9.

    Mire, profe. En realidad es la fórmula de la suma de términos de una progresión geométrica:

1 + 10 + 100 + ... + 10^N−1 = (10·10^N−1− 1) / (10 − 1)

    Que en realidad no es más que un modo de formalizar que 11111111 = 99999999 / 9.

    Dije en clase que había muchas curiosidades acerca de los repunits. Por ejemplo

2 + 3² = 11

22 + 33² = 1111

222 + 333² = 111111

2222 + 3333² = 11111111

...

    Yoyó enseguida lo justificó...

    Profe, mire: 

2·R(N) + (3·R(N))² = 2·R(N) + 9·R(N)² = R(N)·(2+9·R(N)) =

    Si a un número formado por nueves le sumamos dos unidades conseguimos...

= R(N)·(1+10^N) = R(N) + R(N)·10^N = R(2N)

que es como encadenar dos repunits iguales...

    Pero también se puede proceder con la fórmula...

2·R(N) + (3·R(N))² =

= 2·(10^N − 1)/9 + (3·(10^N − 1)/9)² =

= (2·10^N − 2 + 10^2N − 2·10^N + 1) / 9 =

= (10^2N − 1) / 9 = R(2N)

    

    Se deja al lector que investigue sobre los repunits por su cuenta...

1615. La diagonal entera...

     Mire, profe. Los puntos  A ,  B ,  C  y  D  son los vértices consecutivos de un cuadrilátero. Si los lados miden...

dist (A, B) = 5 m

dist (B, C) = 9 m

dist (C, D) = 17 m

dist (D, A) = 5 m

¿cuánto mide la diagonal  AC , esto es,  dist (A, C) ?

    Le pregunté a Pepe Chapuza si no faltaba algún dato, y me respondió que la longitud de esta diagonal era un número entero de metros, esto es, un número natural... E hizo un dibujito chapucero, porque las distancias no se correspondían con los datos... Al menos así evitamos que alguien se pusiera a medir con la regla  ;-)

    ¡Pues venga!

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla dedujo la longitud con la desigualdad triangular (o de Minkowski) puesto que la diagonal dividía al cuadrilátero en dos triángulos...

    Mire, profe. por un lado  dist (A, C) < dist (A, B) + dist (B, C) = 5 m + 9 m = 14 m .

    Por otro lado  dist (A, C) > dist (C, D) − dist (D, A) = 17 m− 5 m = 12 m .

    Por lo tanto  12 m < dist (A, C) < 14 m , esto es,  dist (A, C) = 13 m .

    ¿Cuánto mide la otra diagonal?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota utilizó el teorema del coseno y la función arcocoseno...

    Profe, mire. El ángulo  BÂC = arccos ( (5²+13²−9²) / (2·5·13) ) = 29,63º .

    El ángulo  CÂD = arccos ( (5²+13²−17²) / (2·5·13) ) = 136,95º . 

    El ángulo  BÂD = 29,63º + 136,95º = 166,58º .

    Y la diagonal  dist (B, D) = √ ( 5²+5²−2·5·5·cos166,58º ) = 9,9315 m .

1614. De casa al arroyo

    Profe mire. Cuando voy de mi casa al arroyo a por agua siempre recorro el trayecto más corto... 

    Presentí que era el preámbulo de alguna optimización...

    ... Así que voy a calcular la distancia del punto O(0, 0, 0) a la recta r: x=1+t, y=8+2t, z=5+2t. 

    

    El punto genérico de la recta, R(1+t, 8+2t, 5+2t).

    Su vector de posición, OR = (1+t, 8+2t, 5+2t).

    El módulo, |OR| = √((1+t)²+(8+2t)²+(5+2t)²) = √(9t²+54t+90).

    El polinomio de 2.º grado 9t²+54t+90 alcanza su mínimo en t = −54/18 = −3.

    (O se puede anular la derivada: 18t + 54 = 0, y se cumple t = −3 como antes.)

    Por lo tanto la distancia mínima es d = √(9·9−54·3+90) = √9 = 3 unidades de longitud.

    Muy bonito. Nunca yerro con Pepe Chapuza... Pero se puede hacer de otras formas...

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla lo hizo de otra forma...

    Mire, profe: uno se acerca a por agua perpendicularmente al arroyo...

    Si exijo que el vector OR sea ortogonal al vector director de r, v = (1, 2, 2), entonces...

    El producto escalar OR·v = (1+t, 8+2t, 5+2t)·(1, 2, 2) = 1+t+16+4t+10+4t = 9t+27 = 0.

    Por lo tanto t = −27/9 = −3 como le salió a Pepe.

    (O se puede hallar la intersección de r con el plano π perpendicular que pasa por O. Esto es, π: z+2y+2z = 0, y se cumple (1+t)+2(8+2t)+2(5+2t) = 9t+27 = 0 como antes.)

    Muy bonito también, pero hay otra forma...

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso se acordó de la fórmula. (En definitiva fórmula es diminutivo de forma.)

    Profe, mire. Para t = 0, OR = (1, 8, 5). El área del paralelogramo determinado por OR y v es |v×OR| pero también base·altura. Podemos tomar como base |v| y como altura d. Por lo que...

d = |v×OR|/|v| = |(1, 2, 2)×(1, 8, 5)|/|(1, 2, 2)| = |(−6, 3, 6)|/|(1, 2, 2)| =

= √(36+9+36) / √(1+4+4) = √81/√9 = 9/3 = 3 unidades de longitud.

    Se deja al lector ubicar en el dibujo los elementos mencionados.

    

1613. La luz y el prisma...

     Mire, profe. Un rayo de luz blanca incide sobre una faceta lateral de un prisma óptico recto de bases triangulares equiláteras. El rayo es paralelo a las bases y forma con la faceta un ángulo de 25º. Al atravesar el prisma, la luz blanca se abre en un haz irisado debido a los diferentes índices de refracción de los diversos colores del espectro visible, que van desde 1,50 para el límite infrarrojo hasta el 1,53 del límite ultravioleta. ¿Qué ángulo determinan los bordes de este abanico de luz emergente del prisma?

    A Pepe Chapuza le gusta tanto el arco iris que nos ha regalado este bello experimento óptico...

SOLUCIÓN

    Profe, mire. En el vacío la velocidad de la luz es máxima (se denomina c y vale casi 300000 km/s). En otro medio (aire, agua, vidrio, diamante...) la velocidad se calcula dividiendo c entre el índice de refracción. Cuando la trayectoria de la luz cambia de medio, no solo cambia su velocidad sino también su dirección. En el prisma (y en objetos similares) se cumple la ley de Snell:  r·senθ = r'·senθ' , donde r y r' son los índices de refracción (del aire y del vidrio) y θ y θ' son los ángulos de los rayos de luz (en el aire y en el vidrio) respecto de la normal a la faceta del prisma...

    Vamos al problema de Pepe. Teniendo en cuenta que r es casi 1 y que está midiendo los ángulos desde la faceta y no desde la normal, la ley de Snell quedaría

cos25º = r'·cosα' 

α' = arccos(0,9063/r')

α'₁ = arccos(0,9063/1,50) = 52º50'           α'₂ = arccos(0,9063/1,53) = 53º40'

    Estos son los ángulos en el interior del prisma... Veamos como sale la luz del prisma...

α'' = 120º − α'

α''₁ = 120º − 52º50' = 67º10'           α''₂ = 120º − 53º40' = 66º20'

r'·cosα'' = cosα'''

α''' = arccos(r'·cosα'')

α'''₁ = arccos(1,50·0,3881) = 54º25'           α'''₂ = arccos(1,53·0,4014) = 52º5'

α'''₁ − α'''₂ = 2º20'

    (La precisión de Nina Guindilla era de 1º/12 = 5'.)

    ¿Con qué ángulos α'' la luz no podría atravesar la faceta del prisma?

RESOLUCIÓN

    Mire, profe. El dominio del arcocoseno es [−1, 1] por lo que  r'·cosα'' ≤ 1 . La luz no puede salir si α'' < arccos(1/r') = arccos(1/1,5) = 48º10' .

    Yoyó Gaviota calculó el ángulo límite de la reflexión total.

1612. La esfera taladrada...

    Este es el problema que enunció Pepe Chapuza esta mañana:

    Mire, profe. Hemos perforado una esfera maciza con un taladro tal como se muestra en la figura.

    La altura del objeto así obtenido es  h = 2 dm . Obtén el volumen de dicho objeto...

    Los compañeros enseguida pidieron más datos: ¿qué ancho de broca se había utilizado para practicar el túnel?; ¿cuánto medía el radio de la esfera?... Pero  Pepe les advirtió que tanto esos datos como esas preguntas eran superfluas... ¿Es cierta la afirmación de Pepe? Calcula el volumen de la esfera taladrada...

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla se sabía de memoria las fórmulas de geometría...

    Profe, mire. La esfera taladrada es un segmento esférico menos un cilindro. Si el radio de las bases del segmento esférico (y del ciilindro) fuera r, entonces el volumen sería

π h (3r²+3r²+h²) / 6 − π h r² = π h³ / 6 = 4π/3 = 4,1888 dm³

    Efectivamente, con la altura nos bastaba...

    ¿Y cuánto mediría la superficie de una esfera taladrada?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota sumó el área de la zona esférica más el área lateral del cilindro...

    Profe, mire. Si R es el radio de la esfera tenemos

2πRh + 2πrh  =  2π(R+r)h  =  4π(R+r)√(R²−r²)

    En el último paso he utilizado el teorema de Pitágoras. ¿Se ve? 

    La superficie sí que depende tanto del radio de la esfera como del radio del cilindro... Y con estos radios, el dato superfluo es ahora precisamente la altura... 

1611. Los planos bisectores

     Pepe Chapuza nos definió lo que eran los planos bisectores de dos planos secantes dados.

    Profe, mire. Los planos bisectores son el lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan de los planos dados. Como los planos secantes dividen el espacio en cuatro ángulos diedros, los planos bisectores son dos. (Son cuatro semiplanos.) 

    Pedí comprobarlo con los planos de ecuaciones implícitas F(x, y, z) = 0 y G(x, y, z) = 0, con 

F(x, y, z) = 6x + 8z − 5          G(x, y, z) = 4x + 2y − 4z − 3

    ¡Manos a la obra!

SOLUCIÓN

    Profe, mire. Si un punto P(x, y, z) pertenece a un plano bisector, entonces

dist (P, F⁻¹(0)) = dist (P, G⁻¹(0))

|F(P)| / |∇F(P)| = |G(P)| / |∇G(P)|

|6x + 8z − 5| / |(6, 0, 8)| = |4x + 2y − 4z − 3| / |(4, 2, −4)|

(6x + 8z − 5) / √(36+64) = ±(4x + 2y − 4z − 3) / √(16+4+16)

(6x + 8z − 5) / 10 = ±(4x + 2y − 4z − 3) / 6

18x + 24z − 15 = ±(20x + 10y − 20z − 15)

    Y reordenando y simpificando tenemos los planos bisectores:

− x − 5y + 2z = 0              19x + 5y + 22z − 15 = 0

    Los planos bisectores siempre son perpendiculares. Compruébalo con estos...

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota calculó el producto escalar de los vectores normales de estos planos:

    Mire, profe:  (−1, −5, 2) · (19, 5, 22)  =  − 19 − 25 + 44  =  0 , por lo que los vectores normales son ortogonales y los planos son perpendiculares entre sí.

    Profe, mire. Si los planos iniciales fueran paralelos, el lugar geométrico sería un plano paralelo equidistante de los dados

    Queda para el lector inventarse un ejemplo para comprobarlo...

1610. Doblemente reglada...

    Mire, profe. Un hiperboloide de una hoja tiene forma de chimenea de central térmica. Su ecuación reducida es  x²/a² + y²/b² − z²/c² = 1 . Respecto del eje z los meridianos son ramas de hipérbola y los paralelos son elipses...

    Necesitábamos urgentemente que Pepe Chapuza nos hiciera un dibujo de un hiperboloide hiperbólico (o de una hoja) en una hoja (de papel) ...

    Profe, mire. Aunque se trata de una superficie curva, contiene rectas... ¡Más que eso! Es una superficie reglada: formada por rectas... ¡Mucho más que eso! Es doblemente reglada: por cada punto de la chimenea pasan dos de esas rectas...

    Esto había que justificarlo sí o sí.

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla lo justificó de la siguiente manera:

    Mire, profe. Podemos cambiar la escala en los tres ejes de coordenadas

x : a = X        y : b = Y        z : c = Z

    La forma del hiperboloide cambia (los meridianos devienen en hipérbolas equiláteras y los paralelos devienen en circunferencias) pero las rectas siguen siendo rectas... La ecuación se simplifica: X² + Y² − Z² = 1.

    El punto A(1, 0, 0) está en el ecuador del nuevo hiperboloide... y en el plano X = 1. La intersección de este plano y el hiperboloide cumple Y² − Z² = 0, esto es, ±Y = Z. Por lo que el hiperboloide contiene las dos rectas (1, λ, ±λ) con λ ∈ (−∞, ∞) .

    Como este hiperboloide es de revolución, girando las rectas respecto del eje Z obtenemos las rectas, (cosθ−λsenθ, senθ+λcosθ, ±λ) con θ∈ [0, 2π), que están todas contenidas en el hiperboloide...

    En el hiperboloide inicial sería (acosθ−λasenθ, bsenθ+λbcosθ, ±λc)

    Volviendo al hiperboloide inicial..., ¿qué dos rectas pasan por un punto P(x, y, z)?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota pescó las dos rectas:

    Profe, mire. El punto P del primer hiperboloide deviene en el punto Q(x/a, y/b, z/c) del segundo hiperboloide, de donde λ = ±z/c. Calculemos la recta para λ = z/c (para λ = −z/c se haría igual)... Con los cálculos de Nina bastaría con determinar cosθ y senθ... Veamos...

cosθ − z/c senθ = x/a          senθ + z/c cosθ = y/b

cosθ = x/a + z/c senθ          senθ = y/b − z/c cosθ

así...

cosθ = x/a + z/c (y/b − z/c cosθ) = x/a + yz/b/c − z²/c² cosθ

cosθ + z²/c² cosθ = x/a + yz/b/c

cosθ (1 + z²/c²) = x/a + yz/b/c

cosθ = (x/a + yz/b/c) / (1 + z²/c²)

y

senθ = y/b − z/c (x/a + z/c senθ) = y/b − xz/a/c −  z²/c² senθ

senθ + z²/c² senθ = y/b − xz/a/c

senθ (1 + z²/c²) = y/b − xz/a/c

senθ = (y/b − xz/a/c) / (1 + z²/c²)

    Queda para el lector terminar los cálculos...

1609. Cubos apilados...

     Pepe Chapuza había traído una colección de cubos (hexaedros) y los fue apilando uno encima de otro ordenados de mayor a menor: el mayor debajo, el menor encima...

    Profe, mire. Si hubiera infinitos cubos y sus volúmenes estuvieran en progresión geométrica de razón R, con R ∊ (0, 1), ¿qué altura alcanzaría la pila?

    A Pepe se le olvidó un dato crucial: el volumen del cubo grandote era de 1 dm³.

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla respondió:

    Profe, mire. Si los volúmenes de los cubos están en progresión geométrica de razón R, entonces las alturas (lados) de los cubos están en progresión geométrica de razón ∛R. Por lo tanto, la altura H de la pila será la suma de las alturas de los cubos:  H = 1 / (1−∛R) decímetros .

    Este resultado no está racionalizado. A pesar de no haber dado la racionalización con binomios de raíces cúbicas en el denominador..., ¿osa alguien a hacerlo?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota osó...

    Mire, profe. Voy a multiplicar el numerador y el denominador por  1+∛R+∛R² 

1·(1+∛R+∛R²) / ((1−∛R)·(1+∛R+∛R²)) =

= (1+∛R+∛R²) / (1+∛R+∛R²−∛R−∛R²−R) =

= (1+∛R+∛R²) / (1−R) decímetros

1608. La elipse y el rombo

     Profe, mire. Dada una elipse de semiejes a y b, ¿Cuánto miden las diagonales del rombo circunscrito de menor área?

    Pepe Chapuza os propone este problema de optimización. ¡Optimizad pues!

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla optimizaba óptimamente...

    Mire, profe. Los ejes de la elipse son ejes de simetría por lo que puedo trabajar con la cuarta parte.

Para un punto de la elipse (a cosλ, b senλ) en el primer cuadrante, 0 < λ < π/2, tenemos el lado del rombo (a cosλ − a μ senλ, b senλ + b μ cosλ).

Para  b senλ + b μ cosλ = 0  se tiene que  μ = −tgλ

Para  a cosλ − a μ senλ = 0  se tiene que  μ = cotgλ

por lo que −tgλ ≤  μ ≤ cotgλ. Los vértices de este lado son (simplificando...)

    ( a cosλ + a tgλ senλ, 0 )    y    ( 0, b senλ + b cotgλ cosλ )

( a cosλ + a sen²λ/cosλ, 0 )    y    ( 0, b senλ + b cos²λ/senλ )

( a cosλ + a (1−cos²λ)/cosλ, 0 )    y    ( 0, b senλ + b (1−sen²λ)/senλ )

( a cosλ + a/cosλ − a cosλ, 0 )    y    ( 0, b senλ + b/senλ − b senλ )

( a/cosλ, 0 )    y    ( 0, b/senλ )

por lo que el área del rombo será  2ab / (cosλ senλ) = 4ab / sen2λ . Anulando la derivada respecto de λ, −8ab cos2λ/sen²2λ = 0 , se tiene que  λ = π/4 , por lo que las diagonales del rombo miden  2a/cosλ = 2√2 a  y  2b/senλ = 2√2 b . Es fácil deducir que el área mide 4ab (como la del rectángulo circunscrito a la elipse) y que es mínima.

    ¿Y si en vez de optimizar el área optimizamos el perímetro?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota también era óptimo optimizando...

    Mire, profe. El perímetro del rombo mide  4 √( a²/cos²λ + b²/sen²λ ) . Basta con optimizar el radicando  a²/cos²λ + b²/sen²λ . Anulo la derivada  2a²senλ/cos³λ − 2b²cosλ/sen³λ = 0

   2a²senλ/cos³λ = 2b²cosλ/sen³λ

sen⁴λ/cos⁴λ = b²/a²

tg⁴λ = (b/a)²

tgλ =√(b/a)

cosλ = 1/√(1+tg²λ) = 1/√(1+b/a) = √a/√(a+b)

senλ = tgλ/√(1+tg²λ) = √(b/a)/√(1+b/a) = √b/√(a+b)

    Ahora las diagonales del rombo miden  2a/cosλ = 2√a√(a+b)  y 2b/senλ = 2√b√(a+b)  y el perímetro mínimo mide  4 √( a²/cos²λ + b²/sen²λ ) = 4 √( a(a+b) + b(a+b) ) = 4a + 4b .