950. Caleidociclos... RESOLUCIÓN

    Había mandado investigar qué eran los caleidociclos. El trabajo que mandé a mis alumnos no consistía en buscar una definición y hacer un corta y pega. ¡Tenían que construir uno! Yo no les di ninguna instrucción de cómo hacerlo. Eso es lo que tenían que encontrar en Internet... Pepe Chapuzas hizo uno precioso. Le puso de título "El caleidociclo de las estaciones"... Era alucinante ver como giraba sobre sí mismo y las estaciones iban cambiando...

    Haz un caleidociclo, decóralo y ponle un título... Nos vemos.

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla encontró esta plantilla para hacer caleidociclos:

    Nina, con esta plantilla, hizo un caleidociclo titulado "Del 1 al 9" en el que, al girar, iba consiguiendo, una a una, las cifras... ¡del 1 al 9! ¿Cómo lo hizo?

RESOLUCIÓN

    Mire, profe. En principio solo se pueden conseguir 4 números por un lado y 4 por el otro. ¡Solo 8 números! Afortunadamente el 9 es un 6 boca abajo, con lo que matamos 2 pájaros de 1 tiro...

    El 0 es la única cifra desterrada del caleidociclo de Yoyó Peluso...

949. Pitágoras y el tangram. RESOLUCIÓN

   Profe, mire. Con dos juegos de tangram iguales se puede demostrar el teorema de Pitágoras para triángulos rectángulos isósceles...

    La idea de Pepe Chapuzas me pareció interesantísima y así se lo dije, pero añadí que si los casos particulares de un teorema eran interesantes, las generalizaciones lo eran más... Comenté que si en el teorema de Pitágoras sustituíamos los cuadrados por semicírculos o por pentágonos regulares, obteníamos teoremas similares...

    A Pepe la idea de generalizar le gustó porque al día siguiente trajo una demostración del teorema equivalente con semicírculos y otra del teorema equivalente con polígonos regulares de N lados.

    Atrévete tú a hacer lo mismo. No es difícil...

    A todo esto, si el tangram es de origen chino, el stomachion es de origen griego. Infórmate acerca del stomachion y nos lo cuentas...

SOLUCIÓN

    Mire, profe. Si a y b son los catetos y c es la hipotenusa, entonces lo que nos demostró Pitágoras es que a²+b²=c². Los semicírculos tienen áreas proporcionales a los cuadrados de sus diámetros... Si K es la razón de proporcionalidad (aquí K=π/4) tendremos que A+B=K·a²+K·b²=K·(a²+b²)=K·c²=C. Un razonamiento similar vale para otras figuras como los polígonos regulares...

    Del stomachion, Nina Guindilla solo nos enseñó un modelo...

    Investiga y cuéntanos algo sobre el stomachion...

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso nos ha contado que Arquímedes investigó de cuántas maneras diferentes se puede componer un cuadrado con las 14 piezas del stomachion.

    El problema ha sido resuelto del todo en 2003: salvo rotaciones, reflexiones y conmutaciones de piezas idénticas, hay 536 maneras diferentes...

948. La caja menguante. RESOLUCIÓN

    Pepe Chapuzas llegó a clase con una caja normal, es decir, con forma de ortoedro... y, como no, con un problema...

    Profe, mire... Esta caja era ayer más grande. Ayer la medí y hoy la he vuelto a medir... El alto ha menguado en un 40%, el ancho ha menguado en un 30% y el largo ha menguado en un 20%. ¿En qué porcentaje ha menguado el volumen de la caja?

    Los compañeros de Pepe dudaban de que la caja hubiera menguado y también dudaban de que se pudiera resolver el problema si no medían las dimensiones de la caja... Pepe les comentó que no tenían motivos para dudar...

    Manos a la obra. ¿Cuánto ha menguado el volumen?

SOLUCIÓN

    Profe, mire. Si llamamos V al volumen inicial y v al volumen final de la caja, tendremos que v = V·(1–0,4)·(1–0,3)·(1–0,2) = V·0,6·0,7·0,8 = V·0,336 = V·(1–0,664), por lo que el volumen ha menguado un 66,4%.

    Nina Guindilla ha aplicado porcentajes sucesivos.
    Si la caja hubiera aumentado de tamaño... Si el largo hubiera crecido en un 10%, el ancho en un 50% y el alto en un70%... ¿Cuánto habría aumentado su volumen?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso hizo bien los cálculos.

    Mire, profe: V = v·(1+0,1)·(1+0,5)·(1+0,7) = v·(1,1)·(1,5)·(1,7) =v·(2,805) = v·(1+1,805). El volumen ha aumentado un 180,5%.

947. Suma o producto. RESOLUCIÓN

    En un ejercicio nos daban la suma de las tangentes de los ángulos de un triángulo y nos pedían el producto de esas tres tangentes. Los alumnos empezaron a rascarse la cabeza sospechando que el ejercicio no se podía hacer con tan pocos datos. Pero Pepe Chapuzas acabó superrápido...

   ¡Profe, si da lo mismo!

    Demuestra que efectivamente la suma y el producto dan lo mismo para cualquier triángulo...
    ¿Qué ocurre con los triángulos rectángulos?

SOLUCIÓN

    Los triángulos rectángulos son un caso límite. La igualdad queda ∞ = ∞.

    Nina Guindilla dejó más o menos claro que la igualdad no tiene sentido si hay un ángulo recto, ya que no existe la tangente de 90º...

    Si el triángulo no es rectángulo, entonces tenemos la siguiente cadena de igualdades...

tgα+tgβ+tgγ =

= tgα+tgβ+tg(180º–α–β) =

= tgα+tgβ–tg(α+β) =

= tgα+tgβ–(tgα+tgβ)/(1–tgα·tgβ) =

= (tgα+tgβ–(tgα+tgβ)·tgα·tgβ–tgα–tgβ)/(1–tgα·tgβ) =

= (–(tgα+tgβ)·tgα·tgβ)/(1–tgα·tgβ) =

= –tgα·tgβ·tg(α+β) =

= tgα·tgβ·tg(180º–α–β) =

= tgα·tgβ·tgγ 

    Explica en cada paso lo que ha hecho Nina.

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso explicó lo que había hecho Nina Guindilla en cada uno de los 8 pasos...

    Paso 1º: La suma de los ángulos de un triángulo es 180º
    Paso 2º: Tangente del suplementario de un ángulo.
    Paso 3º: Tangente de una suma de ángulos.
    Paso 4º: Resta.
    Paso 5º: Simplificación.
    Paso 6º: Tangente de una suma de ángulos.
    Paso 7º: Tangente del suplementario de un ángulo.
    Paso 8º: La suma de los ángulos de un triángulo es 180º.

946. Un cuadrado perfecto. RESOLUCIÓN

    Un día llegué a clase comentando que había encontrado un número natural de dos cifras muy interesante. Resultaba que si a ese número le sumábamos el que se obtenía permutando las cifras, entonces la suma era un cuadrado perfecto.

    Reté a mi clase para que encontraran ese número... Entonces saltó Pepe Chapuzas:

    Profe, ¿le damos las ocho soluciones o basta con una?

    Bueno... Después de la intervención de Pepe tendrás que buscar las ocho soluciones...

SOLUCIÓN

    Mire, profe. "AB+BA" es en realidad 10A+B+10B+A = 11(A+B). Por lo tanto, el cuadrado perfecto es un múltiplo de 11. En realidad, solo puede ser 11²=121 y por lo tanto A+B = 11. Hay efectivamente ocho soluciones: 29+92, 38+83, 47+74, 56+65, 65+56, 74+47, 83+38 y 92+29.

    Después de dar la solución Nina Guindilla propuso el siguiente reto:

    Si a un número de dos cifras le restamos el que se obtiene al permutar sus cifras, entonces la resta es un número triangular...

    Resuelve este reto teniendo en cuenta que hay nueve soluciones.

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso dio con las nueve soluciones...

    Mire, profe: 10A+B–10B–A = 9A–9B = 9(A–B) = N(N–1)/2, por lo tanto A–B = 4 o 5. Las soluciones son 51–15, 62–26, 73–37, 84–48 y 95–59 (donde el número triangular es 9·8 = 36), y 61–16, 72–27, 83–38 y 94–49 (donde el número triangular es 10·9/2 = 45).

945. Un trapecio rectángulo. RESOLUCIÓN

    Profe, mire. Conocemos dos lados de este trapecio rectángulo. De los otros dos lados solo sabemos que son iguales. ¿Cuánto mide el área?

   Hay un positivo esperando para el que resuelva este problemita propuesto por Pepe Chapuzas.

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla llamó X y X a los lados desconocidos...

    Profe, mire. Con el teorema de Pitágoras tengo que X² = 3² + (6–X)² = 9 + 36 – 12X + X², por lo tanto X = 45/12 = 15/4. El área del trapecio medirá pues (6+15/4)·3/2 = 117/8 = 14,625cm².

    Nina ha propuesto otro problemita a la clase...

    El área de un triángulo rectángulo mide 30cm², y su perímetro mide 30cm. ¿Cuánto mide la hipotenusa?

    Un positivo para el que lo resuelva. (Dos positivos para el que lo resuelva sin utilizar el teorema de Pitágoras.)

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso quiso resolver el problema dos veces: primero con el teorema de Pitágoras y después sin él. ¿Acaso quería llevarse tres positivos?

    Mire, profe. Como el área del triángulo rectángulo es el semiproducto de los catetos, tenemos que ab/2 = 30. Y la suma de los cuadrados de los catetos es el cuadrado de la hipotenusa, o sea, a²+b² = c² = (30–a–b)² = 900 – 60(a+b) + a²+b² +2ab. Así, a+b = (900+120)/60 = 17 y ab = 60, es decir, a y b son las soluciones de la ecuación x²–17x+60 = 0, o sea, a = 5 y b = 12. Y  por tanto la hipotenusa mide c = √(5²+12²) = 13cm.
    Sin el teorema de Pitágoras... La hipotenusa c = (a+b+c)/2 + (a+b–c)/2 = s – r, donde s = 15 es el semiperímetro y r = área/s = 30/15 = 2 es el inradio. Por lo tanto c = 15–2 = 13cm.

944. Con o sin soroban. RESOLUCIÓN

    Había mandado hacer un ejercicio en clase para resolver por parejas. Como había un número impar de alumnos Pepe Chapuzas se quedó solo...

    Profe, no importa, tengo de compañero a mi soroban...

    Se refería a su ábaco japonés... El ejercicio consistía en averiguar un número natural ABCDE de cinco cifras diferentes que verificaba lo siguiente:

    La pareja formada por Pepe y su soroban fue la primera en resolver el ejercicio. Resuélvelo tú ahora (con o sin soroban) y me envías el razonamiento pormenorizado de cómo lo has hecho.

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla no detalló sus razonamientos pero sí comentó el orden en el que fue encontrando los valores de las letras...

    Profe, mire... Primero deduje que A = 2. Después descubrí que E = 8. Luego razoné que B = 1. Enseguida obtuve que D = 7. Finalmente conseguí C = 9. La solución es

  21978 · 4 = 87912

    Justifica que solo pueden ser esas las cifras y en ese orden, es decir, que la solución es única...

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso salió a la palestra y explicó el problema a toda la clase... Escribió el criptograma con colores en la pizarra... y ni siquiera supuso que eran cifras distintas...

ABCDE · 4 = EDCBA

    Profe, A < 3 y A es par, ¿verdad? La única posibilidad es A = 2.

2BCDE · 4 = EDCB2

    Ahora tiene que ser E > 7 y E = 3 u 8. No cabe duda, E = 8.

2BCD8 · 4 = 8DCB2

    Ahora tiene que ser B < 3 y B impar. Está claro, B = 1.

21CD8 · 4 = 8DC12

    Ahora tiene que ser D = 2 o 7 y 3 < D < 8. Así que D = 7.

21C78 · 4 = 87C12

    Finalmente, C es impar y C > 6. Por eliminación C = 9.

21978 · 4 = 87912

943. La colina de los caracoles. RESOLUCIÓN

    Profe, mire. El parque de mi barrio sería completamente llano y horizontal si no fuera por la colina de los caracoles que se levanta en el centro. La colina es perfectamente cónica, es decir, un cono recto de base circular. Todos los años se celebra una carrera de caracoles en la colina. La salida y la llegada están al pie de la colina, en puntos diametralmente opuestos. Este año un caracol hizo el siguiente recorrido: subió desde la salida hasta la cumbre en línea recta y después bajó desde la cumbre hasta la llegada en línea recta también. La longitud de este recorrido fue de 10 metros. Otro caracol menos atlético evitó la colina y dio un rodeo bordeando la base del cono. Este otro recorrido fue de 10 metros también. Finalmente hubo un tercer caracol que encontró el camino más corto. ¿Cuál es la longitud de este camino más corto sabiendo que no hay túneles?

    No tengo que añadir nada a este problema de Pepe Chapuzas...

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla sí tenía algo que añadir: la solución.

    Profe, mire. Gracias al primer caracol sabemos que la generatriz del cono mide 5m. Gracias al segundo caracol sabemos que la circunferencia de la base mide 20m. Si desarrollamos el área lateral del cono obtenemos un sector circular de 5m de radio y 20m de arco.

    El ángulo del sector será 20/5 = 4rad. El tercer caracol fue por el camino más corto, que será la cuerda correspondiente a 2rad, es decir, 2·5·sen(2/2) = 8,415m.

    Resuelve este reto que ha propuesto Nina:

    Un caracol sube por un bidón cilíndrico, de 1m de radio y 3m de altura, desde la base inferior hasta la base superior. En vez de ir por el camino más corto ha seguido una trayectoria helicoidal (pendiente constante), dando 2 vueltas y media al bidón. ¿Cuántos metros ha recorrido el caracol?

RESOLUCIÓN

    Profe, si tumbamos el bidón y lo rodamos por el suelo 2 vueltas y media, el bidón rueda sobre un rectángulo en el suelo de dimensiones 5π y 3. El camino del caracol se corresponde con la diagonal de este rectángulo por lo que su longitud será √(5²π²+3²) = 15,99m.

 

    Es evidente que a Yoyó Peluso le va todo lo que ruede...

    

942. Suma musical. RESOLUCIÓN

    Este es el criptograma que ha propuesto Pepe Chapuzas para el concurso de criptogramas.

    Se trata de una suma de números naturales de 2 dígitos. El resultado es un número natural de 3 dígitos. Cada letra representa una cifra diferente. ¿A qué cifra corresponde cada letra?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla dio la nota con una solución...

20+71+48+69+59+38=305

    Ha resuelto la ecuación musical. De paso ha propuesto un criptograma en forma de sistema de ecuaciones musicales. ¿A qué cifra corresponde cada letra para que se cumplas las tres igualdades?

DO+RE=MI

FA+SI=LA

RE+SI+LA=SOL

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso solfeaba bastante bien...

0 = I      5 = L

1 = S     6 = R

2 = D     7 = E

3 = O     8 = A

4 = F     9 = M

941. Curiosidades aritméticas. RESOLUCIÓN

    ¿Seguirá ocurriendo esto con números cada vez más largos?

    Pepe Chapuzas ha pinchado en el corcho de clase esta curiosidad aritmética. Es la primera de la colección que vamos a realizar esta semana. Estamos esperando la tuya. Busca una y colabora... Nos vemos.

SOLUCIÓN

    Esta fue la colaboración de Nina Guindilla:

    ¿Cuál es la tuya?

RESOLUCIÓN

    Aquí están las curiosidades aritméticas de Yoyó Peluso...

1·1 = 1

11·11 = 121

111·111 = 12321

1111·1111 = 1234321

11111·11111 = 123454321

111111·111111 = 12345654321

1111111·1111111 = 1234567654321

11111111·11111111 = 123456787654321

111111111·111111111 = 12345678987654321

9·9 + 7 = 88
98·9 + 6 = 888
987·9 + 5 = 8888
9876·9 + 4 = 88888
98765·9 + 3 = 888888
987654·9 + 2 = 8888888
9876543·9 + 1 = 88888888
98765432·9 + 0 = 888888888
987654321·9 – 1 = 8888888888
9876543210·9 – 2 = 88888888888

940. Polígonos naturales, naturalmente. RESOLUCIÓN

    Profe, mire. Estos polígonos regulares tienen todos un ángulo interior que mide una cantidad entera (un número natural) de grados sexagesimales. Ayer me puse a averiguar cuántos polígonos regulares (y cuáles) comparten esta peculiaridad... pero se me hizo de noche... Y esta mañana tenía demasiado sueño... ¿Me podría echar una mano?

    Parece que a Pepe Chapuzas se le han pegado las sábanas. Ha llegado tarde a clase... y encima con este problema. Igual piensa que así no le voy a poner un retraso en el parte... Al final, él se quedará con su retraso en el parte y el que resuelva su problema se llevará un positivo. ¡Ánimo!

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla partió de la fórmula que nos da el ángulo interior de un polígono regular de N lados: Î =  180º·(N–2):N...

    Profe, voy a despejar el número de lados N...

ηN = 180º·N–360º

(180º–Î)·N = 360º

N = 360º:(180º–Î) = 360º:Ê

    Tengo que buscar divisores naturales Ê de 360º menores que 180º. Ê es el suplementario de Î, (por ejemplo el ángulo exterior o el ángulo central del polígono). Para cada posible valor de Ê tendré una solución, esto es, un polígono regular de N lados cuyo ángulo interior Î mide un número natural de grados sexagesimales... Por lo anterior, se deduce que N tiene que ser un divisor de 360 mayor que 2. Hay 22 en total... 

N	3	4	5	6	8	9	10	12	15	18	20
Î	60º	90º	108º	120º	135º	140º	144º	150º	156º	160º	162º

N	25	30	36	40	45	60	72	90	120	180	360
Î	165º	168º	170º	171º	172º	174º	175º	176º	177º	178º	179º

 
   Prueba que en todo polígono regular, el ángulo central y el ángulo exterior coinciden.

RESOLUCIÓN

    Yoyó dibujo un polígono regular y un ángulo central y un ángulo exterior (en rojo).

    Mire, profe. Los ángulos amarillos son iguales... Y cada ángulo rojo es suplementario del ángulo doble del amarillo...

939. La siesta del 8. RESOLUCIÓN

    Profe, mire. El ocho sueña que es infinito en vez de ocho cuando echa la siesta...

    El chiste de Pepe Chapuzas era muy viejo y no tuvo demasiado éxito... Entonces le comenté que había un ocho que no podía soñar que era infinito porque no podía dejar de ser ocho ni echando la siesta... Se trataba del ocho (que estaba echando la siesta) determinado por las gráficas de las funciones sen(x) y –sen(x) en el intervalo [–π,π]... Hice un dibujo en la pizarra...

    Pepe exclamó:

    ¡Es por culpa del área que encierra!

 

    Estas curvas se llaman sinusoides. Calcula el área (amarilla) encerrada entre las dos sinusoides...

 

SOLUCIÓN

 

    El cálculo de esta área no suponía para Nina Guindilla ninguna dificultad...

    ¡El área mide 8, profe!

 

    La curva más famosa (entre los matemáticos) con forma de 8 es la lemniscata de Bernoulli... Busca información sobre esta curva y nos lo explicas todo. ¿Cómo sería la ecuación de una lemniscata de Bernoulli que encerrara un área de 8?

 

RESOLUCIÓN

 

    Yoyó Peluso buscó información acerca de la lemniscata de Bernoulli y averiguó que respondía a la ecuación (x²+y²)² = 2a²(x²–y²).

    Profe, he averiguado que el área que encierra la lemniscata de Bernoulli es a², por lo que la ecuación quedaría (x²+y²)² = 16(x²–y²).

 

 

938. El criterio del 11. RESOLUCIÓN

    Estábamos repasando en clase los criterios de divisibilidad y como ejemplo había que comprobar que 5786 era un múltiplo de 11. Algunos alumnos no se acordaban del criterio del 11 y dividieron directamente 5786 entre 11.

    Los que sí se acordaban del criterio hicieron más o menos lo siguiente:

    Pepe Chapuzas se complicó un poco intentando justificar por qué funcionaba así el criterio del 11. En su cuaderno escribió la siguiente chapuza...

    Leamos despacito el número 5786.
    Cinco mil, setecientos, ochenta, y seis...
    O sea, 5000 + 700 + 80 + 6.
    O sea, 5·1000 + 7·100  + 8·10 + 6.
    O sea, 5·10³ + 7·10² + 8·10 + 6.
    Y si escribimos ahora 10 como los romanos ( 10 = x )
    tenemos 5x³ + 7x² + 8x + 6. ¡Un polinomio! 
    Y también 11 = 10 + 1 = x + 1.
    Así que la división 5786 : 11 se convierte en
    la división de polinomios ( 5x³ + 7x² + 8x + 6 ) : ( x + 1 ).
    Y por el teorema del resto, el resto de esta división será
    5·(–1)³ + 7·(–1)² + 8·(–1) + 6 = – 5 + 7 – 8 + 6 = 0
    que no es otra cosa que el criterio del 11.

    Todo parecía cuadrar... pero a Pepe se le había olvidado que al aplicar el criterio del 11 el resultado no tiene por qué ser 0 sino que puede ser 11 o un múltiplo de 11. ¿Puedes arreglar y terminar esta chapuza de Pepe?
    ¿Cómo se podría aplicar el criterio del 11 con la regla de Ruffini?
    ¿Cuál es el menor múltiplo (natural) de 11 para el que el resultado de aplicar el criterio es 11?
    ¿Y cuáles son los menores múltiplos (naturales) de 11 para los que el resultado de aplicar el criterio es 22, 33, 44...?
    ¿Te atreves a justificar el criterio del 9 al estilo de Pepe Chapuzas?

SOLUCIÓN

    Profe, 209 es el número más pequeño para el que el resultado de aplicar el criterio del 11 es 11. Está claro que no es lo mismo dividir números que polinomios, pues mientras que el resto de dividir 209 entre 11 es 0, el resto de dividir 2x² + 9 entre x + 1 es 11. El teorema del resto me permitiría aplicar el criterio del 11 con la regla de Ruffini...

    El criterio del 9 es parecido al del 11. Se podría hacer con la regla de Ruffini pero ahora dividiendo entre x – 1 (que según Pepe sería 10 – 1  = 9). Probar que 243 es divisible entre 9 con la regla de Ruffini sería...

    Nina Guindilla no nos ha dicho cuáles son los múltiplos (naturales) menores para los que el resultado de aplicar el criterio del 11 es, 22, 33, 44, etc. ¿Lo investigas?

RESOLUCIÓN

    ¡Yo lo investigo, profe!

    Se apresuró Yoyó Peluso para que nadie se le adelantara:

    El menor número que da 22 al aplicar el criterio del 11 es 40909.
    El menor número que da 33 al aplicar el criterio del 11 es 6090909.
    El menor número que da 44 al aplicar el criterio del 11 es 809090909.
    El menor número que da 55 al aplicar el criterio del 11 es 1090909090909.
    El menor número que da 66 al aplicar el criterio del 11 es 309090909090909.
    El menor número que da 77 al aplicar el criterio del 11 es 50909090909090909.
    El menor número que da 88 al aplicar el criterio del 11 es 7090909090909090909.
    El menor número que da 99 al aplicar el criterio del 11 es 909090909090909090909.