401. SOLUCIÓN de 101. Un director contento...

    Mandé buscar a los chicos "paradojas" matemáticas para exponerlas luego en clase. Por "paradoja" me refería a problemas con resultados aparentemente contradictorios o al menos sorprendentes. Pepe Chapuzas expuso la siguiente "paradoja" que encontró en Internet...

    En aquel instituto, había dos grupos de primero. 1ºA era un grupo de 10 alumnos conflictivos. Los 10 sacaron un 4 en Matemáticas: (4 4 4 4 4 4 4 4 4 4). La nota media del grupo era un 4, claro... En el otro grupo, 1ºB, había 20 alumnos majos. 10 de ellos sacaron un 6 en Matemáticas y los otros 10 sacaron un 8. Veamos: (6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8). La nota media en este grupo era un poco más difícil de calcular: un 7... Al director no le gustaban estos resultados así que se le ocurrió una idea genial: matriculó en 1ºA a los alumnos que sacaron un 6 en Matemáticas... Las notas de 1ºA eran ahora (4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6), es decir, un 5 de media. Y las notas de 1ºB quedaron así (8 8 8 8 8 8 8 8 8 8), con un 8 de media, evidentemente... ¡Las medias de ambos grupos aumentaron en 1 punto! Ahora el director estaba contento por fin...

    Busca una "paradoja" y mándame un borrador para exponerla después en clase.

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla encontró siguiente "paradoja":

    EN EL HILBERT'S HOTEL

    Aquel hotel era infinito, ¡tenía infinitas habitaciones!: la 1, la 2, la 3... Un día llegó un autobús infinito de Sinfinlandia con infinitos pasajeros y ocuparon todas las habitaciones del Hilbert's... Después llegó una dama muy rica que se quería hospedar allí sin haber hecho reserva, pero no quedaban habitaciones libres... El recepcionista, que no quería perder clientela, reubicó a los sinfinlandeses. Todos sin excepción se mudaron a la habitación siguiente de la que le habían asignado inicialmente. El de la 1 pasó a la 2, el de la 2 a la 3, el de la 3 a la 4... Así, quedó la habitación 1 para la recién llegada... El problema llegó cuando llegó otro autobús de sinfinlandia con infinitos pasajeros más... El recepcionista no se apuró lo más mínimo... Alojó a los nuevos huéspedes reubicando a los anteriores. Cada uno pasó a la habitación con número doble de la que tenían. La de la 1 a la 2, el de la 2 a la 4, el de la 3 a la 6... De ese modo quedaron automáticamente disponibles las infinitas habitaciones con número impar... ¡Un gran hotel, sin duda!

    Una "paradoja" te está esperando... Solo tienes que encontrarla...

400. SOLUCIÓN de 100. ¡Vaya par de hipérbolas!

    Aquí tenemos otro dibujo del cuaderno de Pepe Chapuzas con su correspondiente cuestión...

    Sean dos hipérbolas que comparten sus asíntotas de modo que las asíntotas separan a las hipérbolas. (Esta disposición no implica que sean hipérbolas conjugadas). Y sean E y F sus excentricidades... Demuestra que  E ² + F ² = E ² F ² .

SOLUCIÓN

    Profe, mire mi dibujito... Las asíntotas son rectas secantes y determinan entre sí ángulos suplementarios: a+b=p. Las bisectrices de las asíntotas son rectas perpendiculares y son los ejes de las hipérbolas. Las asíntotas determinan con las bisectrices ángulos complementarios: a/2+b/2=p/2. Las excentricidades de las hipérbolas son las secantes de estos ángulos: E=sec(a/2) y F=sec(b/2). El prefijo "co-" de cosecante (y de coseno y de cotangente) significa complementario: la cosecante de un ángulo es la secante de su complementario, por lo que F=cosec(a/2). Así tenemos que...

E ² + F ² = sec²(a/2) + cosec²(a/2) = 1/cos²(a/2) + 1/sen²(a/2) =

= (sen²(a/2)+ cos²(a/2))/(cos²(a/2)·sen²(a/2)) = 1/(cos²(a/2)·sen²(a/2)) =

= sec²(a/2)·cosec²(a/2)) = E ² F ². 

    Si todavía no sabes lo que son hipérbolas conjugadas, busca una definición y mándamela.

399. SOLUCIÓN de 99. Sucesos y circuitos

    Profe, mire. En Tecnología estamos haciendo circuitos eléctricos. ¿Sabía que se puede explicar un suceso de un experimento aleatorio mediante un circuito con un interruptor y una lámpara? Si el suceso ocurre, se cierra el interruptor para que pase la corriente y la lámpara luce. La unión de dos sucesos es como dos interruptores en paralelo y la intersección de dos sucesos es como dos interruptores en serie. ¿Lo ve?

    Pepe Chapuzas es hábil para las "conexiones" entre materias, está claro.
    Si has entendido la relación entre sucesos y circuitos explica con estos los sucesos A∪B y A∩B.
    Dibuja los circuitos equivalentes a los sucesos A∩(B∪C)∩(D∪E∪F) y A∪(B∩C)∪(D∩E∩F).

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla explicó la unión y la intersección de sucesos con los circuitos de Pepe:

    Profe, mire. El suceso A∪B se cumple cuando se cumple A o se cumple B, y en el circuito A∪B la bombilla luce cuando se cierra el interruptor A o cuando se cierra el interruptor B. El suceso A∩B se realiza cuando se cumplen A y B, y en el circuito A∩B la bombilla luce cuando se cierran los interruptores A y B. La operación ∪ equivale a la conjunción disyuntiva "o" y la operación ∩ a la conjunción copulativa "y", es decir, unión=paralelo e intersección=serie. 

    Estos son los dos circuitos A∩(B∪C)∩(D∪E∪F) y A∪(B∩C)∪(D∩E∩F) de Nina:

    ¿Cómo serían los circuitos equivalentes al suceso seguro y al suceso imposible?

398. SOLUCIÓN de 98. Comparando esferas

    Pepe Chapuzas estaba coloreando un curioso dibujo en su cuaderno. Me recordaba vagamente una esfera armilar. Para meterme con él le comenté lo chapuza que le estaba quedando esa esfera armilar. Pepe, se defendió diciendo que solo se trataba de una esfera pequeña inscrita en un tetraedro regular inscrito a su vez en una esfera grande... Debajo había escrito unas preguntas referentes al dibujo...

    Si R y r son los radios de las esferas... ¿Cuánto vale R/r?
    Si A y a son las áreas de las esferas... ¿Cuánto vale A/a?
    Si V y v son los volúmenes de las esferas... ¿Cuánto vale V/v?

    Haz cálculos y responde razonadamente...

SOLUCIÓN

    Profe, solo tengo que calcular R/r, porque A/a = (R/r)² y V/v = (R/r)³.

    Dejé que Nina Guindilla siguiera con su explicación...

    Como las esferas y el tetraedro son concéntricos, como R es la distancia del centro a un vértice del tetraedro, como r es la distancia del centro a una cara del tetraedro, como el centro de un tetraedro regular es el baricentro (intersección de las medianas), como el baricentro corta a cada mediana en dos segmentos tales que el mayor es el triple del menor y como esos segmentos son R y r respectivamente, entonces R/r = 3, A/a = 9 y V/v = 27.

    Nina da por conocidos muchos resultados. Justifícalos.

397. SOLUCIÓN de 97. La jarra y el jarro

    Profe, mire. En casa tenemos una jarra y un jarro. Y a pesar de tener géneros gramaticales diferentes (caprichos lingüísticos de mi familia) le puedo asegurar que son iguales en todo: en forma, en peso y hasta en color. Solo difieren en el uso. Ella es para el agua fría y él para el aceite de oliva. Ayer llené la jarra y el jarro hasta el borde y los pesé. La jarra llena de agua pesaba 2,40 kg, pero el jarro lleno de aceite solo pesaba 2,22 kg. ¿Cuánto pesan la jarra y el jarro vacíos?

    Os traslado la pregunta. No os olvidéis de buscar la densidad del aceite (de oliva, por supuesto).

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla sabía que una arroba de aceite (de oliva virgen extra) pesaba 11 kilos y medio y ocupaba 12 litros y medio, por lo que su densidad era 11,5/12,5 = 0,92 kg/l. 

    Profe, mire. Me dan los pesos brutos y me piden la tara T. Si la capacidad de la jarra (y del jarro) es C litros, entonces tenemos las siguientes ecuaciones... La jarra llena pesa C+T=2,40 y el jarro lleno C·0,92+T=2,22. Restando la 1ª ecuación menos la 2ª nos queda C·0,08=0,18 y por lo tanto C=0,18:0,08=2,25 litros. Así que la tara es T=2,40–2,25=0,15 kilos, es decir, 150 gramos. 

    ¿Cuál es la densidad de la gasolina? ¿Y la del mercurio?

396. SOLUCIÓN de 96. La cuerda de la vaca.

    Como problema del mes Pepe Chapuzas ha pinchado en el tablón el siguiente...

    Un granjero tiene un campo de heno. Es de forma cuadrada, tiene media hectárea de superficie y está vallado. Deja pastar allí a una vaca pero solo en la mitad del campo, para lo cual, la ata a una estaca bien clavada en el suelo. Calcula la longitud de la cuerda si la estaca está...
    a) ...en el centro del campo.
    b) ...en un vértice del campo.
    c) ...en el punto medio de un lado del campo.

    Resuélvelo y me mandas la solución.

SOLUCIÓN

    Lo primero que hizo Nina Guindilla fue calcular el lado del campo cuadrado de heno.

    Profe, mire. El área del cuadrado es de 0,5 ha = 5000 m², por lo tanto el lado del cuadrado medirá L =  √5000 = 70,71 m.
    a) La cuerda de la vaca es el radio R del círculo y el área del círculo es la mitad del área del cuadrado: πR² = 2500 m². Por lo tanto R = √(2500/π) = 28,21 m. Solo queda comprobar que el diámetro 2R de la circunferencia es menor que el lado L del cuadrado: 56,42 < 70,71.
    b) La cuerda de la vaca es el radio R del cuadrante y el área del cuadrante es la mitad del área del cuadrado: πR²:4 = 2500 m². Por lo tanto R = √(10000/π) = 56,42 m. Solo queda comprobar que el radio R es menor que el lado L: 56,42 < 70,71.
    c) El área A donde puede pastar la vaca se puede descomponer en un sector circular S y dos triángulos rectángulos T. Es decir, A = S + 2·T = 2500 m². 

    La altura del triángulo rectángulo es L/2 = 35,36 m, y la hipotenusa es el radio R del sector, por lo tanto la base del triángulo rectángulo medirá √(R²–(L/2)²) = √(R²–1250) , y de ese modo tenemos que 2·T = √(R²–1250)·35,36.
    El ángulo del sector es 2·arcsen(L/2/R) = 2·arcsen(35,36/R), por lo tanto tenemos que su área será S = R²·arcsen(35,36/R).
    La ecuación no es nada fácil: R²·arcsen(35,36/R) + √(R²–1250)·35,36 = 2500. Lo que está claro es que la solución me dará la cuerda de la vaca...

    Está claro que ni Pepe ni Nina podían llegar más lejos...
    ¿Puede alguien dar una solución aproximada?

395. SOLUCIÓN de 95. Iván el haragán

    Uno de los divertimentos de Pepe Chapuzas era buscar cuentos con problemas matemáticos. Hay muchos en todo el mundo. El último dice que es una leyenda rusa que encontró en Internet...

   Iván el haragán estaba sesteando junto al puente que cruzaba el río. Estaba recordando el refrán "si quieres patrimonio, pacta con el demonio" cuando se le apareció el mismísimo Satán en persona.
Satán, que sabía lo que Iván pensaba, le propuso una forma fácil de conseguir patrimonio: solo tenía que cruzar el puente. Cada vez que lo cruzara, el número de monedas que llevara en la bolsa se duplicaría. Satán solo le pedía a cambio que cada vez que cruzara el puente le diera 8 de sus monedas... Iván no se lo pensó dos veces. Echó a correr por el puente y cuando llegó a la otra orilla comprobó que la bolsa tenía el doble de monedas. Le dio las 8 monedas prometidas a Satán y volvió a cruzar el puente y lo que le dijo Satán seguía cumpliéndose. Pagó otras 8 monedas y cruzó por tercera vez... y lo mismo... Entonces, cuando Iván se disponía a cruzar el puente por cuarta vez se percató de que ya no le quedaban monedas... Quiso protestar pero Satán ya había desaparecido sin dejar rastro... ¿Cuántas monedas tenía al principio Iván en la bolsa?

    Resuelve el problema planteando una ecuación.

    Y si encuentras algún cuento con algún problema interesante nos lo cuentas, ¿vale?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla planteó la siguiente ecuación:  ((x·2–8)·2–8)·2–8 = 0.

    Profe, mire. Esta es la ecuación. Es fácil porque es de primer grado... Además, el problema se podía haber resuelto por la cuenta de la vieja...

 

    Nina quitó paréntesis: x·2·2·2–8·2·2–8·2–8 = 0. Y despejó: x = (8·2·2+8·2+8):2:2:2 = 7 monedas... Finalmente comprobó el resultado:

 

    Tras cruzar el puente por primera vez tenía 14 monedas.

    Tras pagar al diablo por primera vez le quedaban 6 monedas.

    Tras cruzar el puente por segunda vez tenía 12 monedas.

    Tras pagar al diablo por segunda vez le quedaban 4 monedas.

    Tras cruzar el puente por tercera vez tenía 8 monedas.

    Tras pagar al diablo por tercera vez se quedó sin monedas...

 

    A continuación leyó su cuento con problema...

 

    LA HERENCIA DE LOS 17 CAMELLOS.

 

    Un comerciante de camellos tenía 3 hijos. En su testamento dispuso que a su muerte se repartiera su fortuna de la siguiente manera: La mitad para el mayor, la tercera parte para su segundo hijo y la novena parte para el benjamín. Cuando el comerciante murió poseía una fortuna de... 17 camellos... Los hijos no sabían cómo repartírselos: 17 no era divisible ni por 2 ni por 3, y, claro está, tampoco por 9... ¡Era un número primo! Así que pidieron consejo al albacea que era un hombre muy sabio... El albacea les dijo que 17 camellos eran mala caravana por lo que les prestó un camello. Al primogénito le dio la mitad de los 18 camellos, o sea, 9. Al hijo segundo le dio la tercera parte de los 18, es decir, 6. Y al menor la novena parte de los 18, esto es, 2. Los  tres hijos recibieron más de lo que esperaban: en total 9+6+2=17 camellos... Y el albacea recuperó su camello prestado, contento de haber satisfecho la última voluntad del comerciante... aunque nunca estuvo convencido del todo de haber hecho correctamente el reparto... ¿Tú que opinas?

394. SOLUCIÓN de 94. Induciendo, que es gerundio

    Había propuesto una demostración por inducción. Se trataba de probar la fórmula que da el máximo número de regiones en que n rectas pueden dividir un plano.

    Pepe Chapuzas entendió muy bien el proceso de inducción como bien se aprecia en la demostración que hizo. Como punto de partida se consideraba sabido que el máximo número de regiones se obtenía si todo par de rectas tenía uno y solo un punto común y tal punto de intersección era distinto para cada par de rectas...

    Profe, mire. Para el caso n=1, o sea, con una recta, es evidente, pues (1²+1+2)/2 = 2 regiones.
    Para n>1 suponemos que la fórmula es cierta para n−1 rectas. Al añadir una nueva recta en las condiciones del enunciado, esta recta cortará a las rectas anteriores en n−1 puntos. Estos n−1 puntos dividen la nueva recta en n trozos (segmentos y semirrectas). Y cada trozo divide una región del plano diferente, por lo que aparecen n regiones más que hay que sumar a la hipótesis de inducción. Por lo tanto, tenemos n + [(n−1)²+(n−1)+2]/2 = (2n+n²−2n+1+n−1+2)/2 = (n²+n+2)/2 regiones, que es la fórmula que queríamos demostrar.

     Pero además, a modo de propina o añadidura, Pepe incluyó la demostración de la fórmula que da el máximo número de regiones en que n planos pueden dividir al espacio. Para obtener el número máximo de regiones, toda terna de planos debía tener uno y solo un punto común y tal punto de intersección debía ser distinto para cada terna de planos. (Para n=2, los dos planos han de ser secantes en una recta.)

    Intenta demostrar esta fórmula mediante un proceso de inducción matemática.

SOLUCIÓN
 
    Profe, mire. Con n=1, o sea, con un plano, la fórmula vale: (1³+5·1+6)/6 = 2 regiones. Si n>1 suponemos que la fórmula funciona para n–1 planos. Un nuevo plano en las condiciones mencionadas será cortado por los otros planos a lo largo de n–1 rectas, y estas rectas dividirán el nuevo plano en [(n−1)²+(n−1)+2]/2 regiones como mostró Pepe. Cada región del plano, a su vez, dividirá una región del espacio diferente por lo que aparecerán [(n−1)²+(n−1)+2]/2 regiones más que habrá que sumar a la hipótesis de inducción:

[(n−1)²+(n−1)+2]/2 + [(n−1)³+5·(n−1)+6]/6 =

= [n²−2n+1+n−1+2]/2 + [n³−3n²+3n−1+5n−5+6]/6 =

= [n²−n+2]/2 + [n³−3n²+8n]/6 =

= [3n²−3n+6+n³−3n²+8n]/6 =

= [n³+5n+6]/6.

 

    Que es la fórmula que queríamos demostrar...

    Después de esta demostración, Nina Guindilla os propone otra...

    ¿Cuál es el número máximo de regiones en que n circunferencias pueden dividir un plano? 

    Pues induciendo, que es gerundio...

393. SOLUCIÓN de 93. Un azulejo no tan sencillo

    Los azulejos del zócalo del aula son de diseño sencillo. Aunque Pepe Chapuzas parece ser que no opina de la misma manera:

    El que quiera comprobar que el azulejo es más complicado de lo que parece que intente calcular el área azul marino y el área azul celeste.

    ¿Quieres comprobarlo? Las curvas son arcos de circunferencia de radio 20 cm y con centros en los vértices del azulejo.

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla se puso manos a la obra con el azulejo del aula:

    Profe, mire. Empecemos con el área azul celeste. Se puede calcular restando las cuatro cuñas (naranjas y amarillas) al área del cuadrado de lado 20 cm como se aprecia en el dibujo de la izquierda. Cada cuña se puede calcular restando un segmento circular de 60º (p/3) y radio 20 cm (verde) al sector circular de 30º (p/6) y radio 20 cm como se aprecia en el dibujo de la derecha.

    SECTOR =  (p/6)·202:2 = 104,72 cm2.
    SEGMENTO = (p/3–sen(p/3))·202:2 = 36,23 cm2.
    CUÑA = SECTOR – SEGMENTO = 104,72 – 36,23 = 68,49 cm2.
    AZUL CELESTE = CUADRADO – 4 · CUÑA = 400 – 4 · 68,49 = 126,04 cm2.

    El área azul marino está formada por 4 regiones iguales... Cada una se puede calcular restando tres sectores (marrones) y una cuña (amarilla) al cuadrado. Todo ello está calculado ya:

    AZUL MARINO = 4 · (CUADRADO – 3 · SECTOR – CUÑA) = 4 · (400 – 3 · 104,72 – 68,49) = 69,40 cm2.

    Los azulejos del aula son azules (y blancos). ¿Crees que la palabra azulejo procede de la palabra azul? Investiga las etimologías...
    Pepe Chapuzas había resuelto el problema de forma parecida:

    Primero calculó el área azul marino con ayuda de la 1ª figura, después el área blanca con la ayuda de la 2ª figura y finalmente el área azul celeste... 
    Detalla sus cálculos.

392. SOLUCIÓN de 92. El diario de Pepe Chapuzas

    Profe, hace tiempo que escribo un diario en hojas sueltas. Para que no se desordenaran empecé a numerarlas: 1, 2, 3, 4, ... Ya he escrito tantas hojas que necesito números de 3 dígitos... Un día me puse a contar dígitos... Entiéndame, no contaba hojas sino los dígitos de los números que había ido escribiendo para numerarlas. Y conté 999 dígitos en total. ¿Sabría decirme cuántas hojas escritas tiene mi diario?

    Generalmente es el "profe" el que propone ejercicios al alumno pero en el caso de Pepe Chapuzas muchas veces se invierten los papeles...
    Dejo que lo penséis y me ayudéis a averiguar cuántas hojas tiene el diario de Pepe.

SOLUCIÓN

    A Nina Guindilla le sorprendió que Pepe Chapuzas escribiera un diario...

    Profe, mire. Pepe numera las hojas, no las páginas, así es de chapucero... En fin, en su diario hay 9 hojas con 1 dígito (de la 1ª a la 9ª) y 90 hojas con 2 dígitos (de la 10ª a la 99ª). Si hay X hojas con 3 dígitos, obtenemos la ecuación 9·1 + 90·2 + X·3 = 999. Y despejando tenemos el valor de X = (999 – 9 – 180) : 3 = 270. Así, el número de hojas es 9 + 90 + 270 = 369.
    Yo también escribo un diario y número las páginas. Ya he escrito 888 hojas por las 2 caras. ¿Cuántos dígitos he tenido que escribir?

    Nina tiene más cosas que escribir que Pepe... Responde a la pregunta de Nina.

391. SOLUCIÓN de 91. Los puentes de Chapuzalandia

    Hay un problema antiguo denominado "Los puentes de Königsberg" que no tiene solución... Basándose en él, Pepe Chapuzas ha dibujado el plano de los puentes de Chapuzalandia ;-) y ha propuesto un pasatiempo que consiste en hallar una oración con sentido yendo de letra en letra, teniendo en cuenta que hay que pasar por todos los puentes rojos una y solo una vez, y que hay que utilizar todas las letras. Un compañero le dijo: "No tiene solución", pero Pepe afirma que sí la tiene... ¿Quién tiene razón?
    Búscame un plano de los puentes de Königsberg. ¿Cómo se llama ahora la ciudad de Königsberg?

SOLUCIÓN

    Profe, los dos tienen razón. Paradójicamente la solución es "No tiene solución". 

    Un plano de los puentes de Königsberg se puede encontrar a golpe de clic en Internet...

    La antigua ciudad alemana de Königsberg es ahora la ciudad rusa de Kaliningrado. De los famosos siete puentes del problema solo quedan cinco...

 

    Nina Guindilla hizo su trabajo...

    ¿En qué consiste el problema de los puentes de Königsberg?

    ¿Cómo se llaman (o llamaban) los siete puentes de Königsberg?

390. SOLUCIÓN de 90. La carcoma intelectual

    Era una carcoma intelectual porque, literalmente, devoraba los libros. Su última "hazaña" fue taladrar "Las mil y una noches". Eran cuatro volúmenes de lujo que llevaban años ordenados en la misma estantería. Cada volumen tenía 500 hojas... La carcoma empezó en la primera página del primer volumen y terminó en la última página del cuarto volumen. Avanzó horizontalmente en línea recta y siempre en el mismo sentido... ¿Cuántas hojas taladró la carcoma?

    Pepe Chapuzas también "devora" libros. Este es un problema clásico que leyó alguna vez...
    ¿Cuántas hojas taladró la carcoma?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla no cayó en la trampa: la solución no era 2000 hojas...

    Profe, mire. La carcoma atravesó 2 volúmenes (el segundo y el tercero). En total taladró 1000 hojas (y 6 tapas). (El enunciado no indica si había guardas, hojas de cortesía o portadillas, en tal caso la respuesta sería diferente...)

    ¿Qué son las guardas, las hojas de cortesía y las portadillas de un libro?

389. SOLUCIÓN de 89. ¡Cuidado, que quema!

    Hacía frío y Pepe Chapuzas propuso un problema de mezclas calentito. Pero presta atención, viniendo de Pepe me atrevería a decir que hay gato encerrado... o escaldado...

    En un cubo de 5 litros hemos vertido 3 litros de agua a 41ºC. ¿A qué temperatura debemos verter los dos 2 litros que faltan para que la mezcla alcance los 65ºC?

SOLUCIÓN

    Profe, ¡Claro que había gato encerrado... y escaldado! Mezclar 3 litros a 41ºC con 2 litros a TºC para conseguir 5 litros a 65ºC viene reflejado en la ecuación 3·41 + 2·T = 5·65, por lo que solo hay que despejar T = (5·65 – 3·41) : 2 = 101ºC. En condiciones normales, a esa temperatura el agua no es líquido sino vapor, y difícilmente se podría verter en ningún cubo...

    Nina Guindilla no se dejó pillar... 

    ¿En qué condiciones se podría conseguir agua líquida a 101ºC?

388. SOLUCIÓN de 88. Los números bailones

    Estaba corrigiendo un examen de Pepe Chapuzas y observé que en un ejercicio había hecho todos los pasos bien, pero a la hora de escribir el resultado, que era un número de 2 cifras, había cambiado el orden de estas incomprensiblemente...

    Profe... ¿Cuánto me va a quitar por el lapsus?... Todo iba bien pero... al final bailé las cifras...

    Le contesté que como el resultado que había escrito era un 20% mayor que la solución correcta, le quitaría el 20% de la nota del ejercicio, esto es, le di 1,2 puntos...

    ¿Qué nota total valía este ejercicio?
    ¿Cuál era la solución correcta del ejercicio?

SOLUCIÓN

    A Nina Guindilla nunca le ocurrían estas cosas porque siempre le daba tiempo a repasar las respuestas de sus exámenes...

    Profe, el ejercicio valía 1,2 : 0,80 = 1,5 puntos.
    Si la solución correcta del ejercicio era "XY", es decir, 10X+Y, Pepe escribió "YX", es decir, 10Y+X. Si "YX" es un 20% mayor que "XY" tendremos la siguiente proporción: "YX" es a 120 como "XY" es a 100, es decir, (10Y+X):120 = (10X+Y):100. Como el producto de extremos es igual al producto de medios sale (10Y+X)·100 = (10X+Y)·120. Quitando paréntesis nos queda 1000Y+100X = 1200X+120Y, por lo tanto, 880Y = 1100X. Si simplificamos la ecuación dividiendo los dos miembros entre 220 obtenemos 4Y = 5X. La solución trivial (X=0, Y=0) no tiene sentido por lo que la única solución válida será (X=4, Y=5), es decir, la solución correcta del ejercicio era "45" y Pepe bailó las cifras y escribió "54".

    ¿Cuál sería la solución correcta si al bailar las dos cifras el resultado en vez de un 20% hubiera sido un 75% mayor?

387. SOLUCIÓN de 87. Las rebajitas

    Pepe Chapuzas propuso un problemita para pillar a sus compañeros. Piénsalo bien antes de dar la respuesta:

    Empiezan las rebajas. Un comerciante anuncia en su escaparate con un enorme cartel una rebaja del 30% en todos sus productos. El comerciante es un tramposo porque el día de antes se ha encargado de modificar las etiquetas incrementando todos los precios justo el 30%. ¿Cuál es la rebajita real en este establecimiento?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla no se dejó pillar por el problemita...

    Profe, mire. Si subimos el 30% y después bajamos el 30% la solución no es el 0% porque las cantidades a las que se aplica los porcentajes no son las mismas. La solución se puede calcular así: (1 + 0,30) · (1 – 0,30) – 1 = – 0,09. La rebajita real es del 9%.

    Hay que tener cuidado. No siempre se pueden restar o sumar los porcentajes... Otro ejemplo:
    La plantilla de una empresa ha aumentado el 100% el primer año y el 100% el segundo año... ¿Cuánto ha aumentado la plantilla en los dos años? (La respuesta no es el 200%.)
    

386. SOLUCIÓN de 86. ¿De qué color?

    Profe, dígame de qué color son las siguientes palabras. No las lea, solo dígame de qué color son...

     Tengo que reconocer que me costó leerlas, mejor dicho, no leerlas. Haz tú la prueba... Pepe Chapuzas me había puesto en un aprieto. Pero este ejercicio mental me sirvió para explicar la función recíproca. Me inventé la función  F que se podía leer "el color de la palabra". Así, con la primera palabra teníamos que F(VERDE)=ROJO porque el color de la palabra VERDE era el color ROJO evidentemente... Pues bien, la función recíproca F* se podría leer "la palabra de color". Así pues, F*(ROJO)=VERDE porque la palabra de color ROJO era la palabra VERDE. Como era un poco lioso expliqué otra forma de entender la función recíproca: consistía en cambiar la lista de palabras. La primera palabra de la nueva lista, en vez de ser la palabra VERDE en ROJO, sería la palabra ROJO en VERDE, es decir, en vez de VERDE, sería ROJO y así con todas las demás...
    Completa la nueva lista de palabras coloreadas para la función recíproca si quieres un positivo.

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla entendió que de esta última forma las funciones F y F* se leerían ambas "el color de la palabra" y que solo había que cambiar la lista de palabras... De este modo completó la lista para F*:

    ROJO  MORADO  NARANJA  AZUL

    NEGRO  MARRÓN  GRIS

    VERDE  ROSA  AMARILLO

   

    Y luego propuso este par de ejercicios:

    Los nombres de los colores son palabras que a su vez están en la lista de la función F. Si componemos la función F consigo misma tenemos otra función: la función compuesta FoF. Por ejemplo, F(F(VERDE))=F(ROJO)=GRIS. Para la función FoF habría una nueva lista de palabras en la que estaría VERDE. ¿Quién completa la lista para FoF?
    ¿Cuál es la lista de la función identidad?

    Un positivo te está esperando...

385. SOLUCIÓN de 85. El número de Dios y el número del diablo

    Había mandado hacer un trabajo sobre el número de oro, también llamado el número de Dios, que es una constante que se encuentra con frecuencia en la naturaleza y en el arte, y por supuesto en las Matemáticas. Su nombre es Φ (se lee fi) y su valor aproximado es Φ = 1,618... Hay mucho material para buscar: hay mucha información en Internet y hay libros de divulgación enteros dedicados a este número..., así que los alumnos hicieron un buen trabajo. Pepe Chapuzas incluyó en el suyo una curiosa relación entre el número de oro y el número de la bestia, el 666, también conocido como el número del diablo, aunque no hizo ninguna demostración.

    Haz una demostración. Para ello no valen aproximaciones ni calculadoras. Tienes que buscar una definición o una expresión exacta para Φ, y una relación geométrica con el ángulo de 666º.

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla vio que Φ aparecía en tantos sitios que no sabía por dónde empezar... así que empezó por el ángulo de 666º...

    Profe, mire. El ángulo de 666º es un ángulo impropio porque es mayor que 360º, por lo tanto sen 666º = sen (666º–360º) = sen 306º. El ángulo de 306º es un ángulo del cuarto cuadrante porque es mayor que 270º y menor que 360º, por lo tanto sen 306º = –sen (360º–306º) = –sen 54º. El ángulo de 54º me da la primera pista: está relacionado con el pentágono regular...

    El número Φ también está relacionado con el pentágono regular: es la razón áurea o razón entre la diagonal y el lado del pentágono regular...

    Relacionando los dos datos anteriores tenemos que sen 54º = Φ/2, por lo tanto sen 666º = –Φ/2 y por lo tanto tenemos Φ = –2·sen 666º, que es lo que había que demostrar.

    Teniendo en cuenta que en el siguiente dibujo los triángulos lila y naranja son semejantes, obtén el valor exacto (con radicales) de Φ.

384. SOLUCIÓN de 84. El triángulo de Pingala

    Profe, el año pasado nos explicaron el triángulo de Tartaglia y este año nos han hablado del triángulo de Pascal... ¡Y es el mismo triángulo! ¡Qué manera de confundir al personal...!

    El que replicaba era, como no, Pepe Chapuzas. Le comenté que Pascal popularizó el famoso triángulo pero Tartaglia lo usó antes. Y antes Yang Hui, y antes aún Khayyam. Por eso, el triángulo es, en Francia, de Pascal, en Italia, de Tartaglia, en China, de Yang Hui, y en Irán, de Khayyam... Pero en realidad Pingala ya lo conocía muchísimo antes en la India. Le dije que quizá debiera llamarse triángulo de Pingala... A Pepe le gustó el nuevo nombre porque empezó a utilizarlo en seguida (aunque solo entre nosotros, claro)...

    Profe, en el triángulo de Pingala están los números triangulares: 1, 3, 6, 10, 15, 21...

     Pepe me enseñó su cuaderno: había hecho una "demostración" gráfica de que n sobre 2 era un número triangular... Le dije que el triángulo de Pingala contenía también los números tetraédricos: 1, 4, 10, 20, 35, 56... Le aclaré que estos eran la versión tridimensional de los números triangulares. Entonces le pedí que "demostrara" que n sobre 3 era un número tetraédrico, y... ¡ya lo creo que lo consiguió!
    Atrévete a "demostrarlo" tú también.

SOLUCIÓN
 

    Nina Guindilla hizo números tetraédricos con imanes... Como los tetraedros que construía se podían deformar (torcer, inclinar), la "demostración" no tardó en materializarse:

    Profe, mire. La "demostración" de Pepe con los números triangulares está bien..., pero para los números tetraédricos hay que hacer un auténtico puzle tridimensional... Si Pepe partió de un cuadrado (n²), yo parto de un cubo (n³), aunque este paso se (y me) lo podría haber ahorrado:

    En primer lugar tengo que añadir 2 veces n (azul y verde):

    A continuación suprimo 3 veces n² (morado, rojo y naranja):

    Y finalmente divido en 6 partes iguales (amarillo/marrón) que son números tetraédricos:

    ¡Bravo por Nina!

    ¿Qué otras cosas descubrió Pingala? ¿Cómo murió Pingala? Espero tu respuesta...

383. SOLUCIÓN de 83. Un interés continuo

    Profe, entiendo el interés simple porque no es otra cosa que la fórmula del aumento. Si C es el capital inicial, R es el rédito anual y T es el tiempo en años, entonces tenemos para el capital final: C·(1+R·T).
    También entiendo el interés compuesto porque no es otra cosa que varios aumentos sucesivos: C·(1+R)^T si la capitalización es anual.
    Y entiendo que el período de capitalización sea menor que un año. Para N períodos en un año tendremos: C·(1+R/N)^N·T. Así, si la capitalización es mensual, el rédito mensual sería R/12 y el tiempo en meses sería 12·T. (Lo que no deja de ser una chapuza eso de medir el tiempo por meses ya que no todos los meses duran lo mismo).
    Pero yo creo que el interés debe capitalizarse inmediatamente, en períodos de capitalización infinitésimos (infinitamente pequeños). En tal caso habría infinitos períodos, ¿verdad? Y... ¿no es esto un límite?

    Pepe Chapuzas había resuelto solito el problema del interés continuo...
    ¡Ojo! La calculadora da para el número e la aproximación 2,718281828... pero, a pesar de las apariencias, e no es un número racional.

    Si un banco te ofreciera, por un depósito anual, un interés continuo del 8% (es decir, R = 0,08) entonces... ¿Cuál sería la tasa anual equivalente (TAE)?
    (Si te ocurriera de verdad, dime de qué banco se trata).

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla no se fía de ningún banco...

    Profe, mire. TAE es tasa anual equivalente, por lo tanto T = 1 año y será 1 + TAE = e^0,08, es decir, TAE = e^0,08 – 1 = 0,83287 = 8,3287%.

    Si la tasa anual equivalente fuera del 10%, ¿cuál sería el rédito si el interés fuera continuo?