369. SOLUCIÓN de 69. Una rápida resolución

¡Otro problema resuelto por Pepe Chapuzas sin explicaciones!

    Está claro que en este examen no se permitió la calculadora...
    ¿Entiendes lo que ha hecho Pepe Chapuzas? Si es así explícanoslo.

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla ha decidido que ante una rápida resolución lo mejor es una rápida explicación:

    Profe, mire. Pepe ha llamado  al menor ángulo del triángulo, así que los otros miden 2 y 4 porque están en progresión geométrica de razón 2. Como la suma de los tres ángulos de un triángulo es π = 180º, los puede calcular fácilmente.
    Ahora utiliza el teorema de los senos: los lados de un triángulo son directamente proporcionales a los senos de los ángulos opuestos, por lo tanto la suma de los lados (el perímetro = 1m) y la suma de los senos de los ángulos guardarán la misma proporción. 
    Como la razón de proporcionalidad es el diámetro de la circunferencia circunscrita al triángulo y la longitud de la circunferencia es el diámetro por π... ¡Tenemos el resultado de Pepe!

    Si el perímetro del triángulo midiera 1m y los tres ángulos estuvieran en progresión aritmética de diferencia 15º, ¿cuánto mediría la circunferencia circunscrita?

368. SOLUCIÓN de 68. El límite escondido

    Profe, ¡qué despiste! Pensé que había terminado el examen... Me puse a repasar... y cuando faltaban dos minutos para que sonara la campanilla le di la vuelta a la hoja de enunciados y... ¡allí estaba escondido! ¡Me faltaba un límite por hacer!

    No he visto a nadie más despistado que Pepe Chapuzas. Cuando corregí su examen esto fue lo que me encontré:

    Como veis, a Pepe no le dio tiempo de explicar lo que había hecho...
    ¿Es correcto el resultado? Explica tú todos los pasos. Espero tu respuesta...

SOLUCIÓN

    Si a Pepe Chapuzas le faltó tiempo, a Nina Guindilla le sobró tanto que resolvió el ejercicio 10 de dos maneras diferentes:

    Estaba claro que Nina era más ortodoxa... Pepe había hecho las factorizaciones y la simplificación mentalmente, y había calculado los valores numéricos con el teorema del resto. Veamos la otra solución de Nina... ¡Sin utilizar la regla de Ruffini! 

    Profe, mire. La indeterminación era 0/0 pero, no sé por qué, empecé a hacer "las cosas del número e". El caso es que me sale la solución... 

    Acláranos lo que ha hecho Nina y por qué le sale la solución.

367. SOLUCIÓN de 67. Lotería y superstición

    Pepe Chapuzas me preguntó cuál era el criterio de divisibilidad del 19. Sospeché que me estaba poniendo a prueba así que yo, a mi vez, le pregunté cuál era su interés por saberlo. Entonces Pepe me relató la siguiente historia:

     Profe, mire. Mis padres siempre van a los mismos loteros para comprar los décimos de Navidad porque dicen que son muy "sinceros". Tienen este letrero: "vendemos lotería para coleccionar... porque tocar nunca toca..., y si toca... le devolvemos su dinero"... Mis padres son algo supersticiosos y este año quieren números que sean múltiplos de 19, a saber por qué... Fui con ellos, y con una calculadora por si las moscas, pero cuando llegamos, a la calculadora se le había agotado la batería... Nos vendieron los números 31606, 61845, 18392, 85163 y 16207. Les pregunté a los loteros cómo sabían que eran múltiplos de 19 si no habían hecho las divisiones y uno de ellos me contestó que había aplicado de cabeza el criterio de divisibilidad del 19... Al ver mi cara de extrañeza me fue escribiendo en un papelito la prueba para el 16207... Al 16207 le quitó la última cifra, esto es, tachó el 7, y le quedó 1620; luego duplicó el 7 tachado, es decir, 7·2=14; y este 14 se lo sumó al 1620, o sea, 1620+14=1634. Con este número hizo lo mismo, le tachó la última cifra y le sumó el doble de la cifra tachada, y repitió el proceso hasta que quedó un número menor que 20. Me dijo que si este número fuera 19 (como así pasó al final) el número inicial (aquí el 16207) sería un múltiplo de 19.

    Comprueba con este criterio que todos los números comprados son múltiplos de 19 excepto uno. ¿Cuál?
    ¿Hay algún criterio de divisibilidad similar para el 29, el 39 y el 49...?
    ¿Hay algún criterio de divisibilidad similar para el 7, el 13 y el 17...?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla hizo la comprobación para todos los números...

    Para el 31606, 3160+12=3172, 317+4=321, 32+2=34, 3+8=11<20. NO es múltiplo de 19.
    Para el 61845, 6184+10=6194, 619+8=627, 62+14=76, 7+12=19. SÍ es múltiplo de 19.
    Para el 18392, 1839+4=1843, 184+6=190, 19+0=19. SÍ es múltiplo de 19.
    Para el 85163, 8516+6=8422, 842+4=846, 84+12=96, 9+12=21. NO es múltiplo de 19.

   Profe, ¡dos de los números comprados no eran múltiplos de 19!

    Nina no contestó las otras preguntas. Se limitó a decirme que los criterios de divisibilidad se podían encontrar en la Wikipedia...
    Si tienes interés por conocerlos ya sabes dónde puedes buscar...

366. SOLUCIÓN de 66. El calendario de las abejas

    Pepe Chapuzas llegó a clase con la cara hinchada. Explicó que se debía a la picadura de una abeja porque el fin de semana estuvo practicando apicultura en un colmenar. Pero a pesar del escozor que sentía en la cara estaba muy contento porque había aprendido muchas cosas. Por ejemplo, que la reina era la madre de todas las abejas del enjambre: de las obreras que lo hacían todo y de los zánganos que no hacían nada. O que en cada colmena había un panal que en realidad era un calendario perpetuo... Lo primero lo sabíamos todos pero lo segundo nos pilló de sorpresa. Pepe se congratuló en mostrárnoslo:

    Para las abejas los puntos cardinales no son 4 sino 6. ;-) Estos 6 puntos cardinales se podrían llamar chapuceramente E, NE, NO, O, SO y SE. Y digo chapuceramente porque en realidad se corresponden con los ángulos de 0º, 60º, 120º, 180º, 240º y 300º respectivamente.

    El calendario en sí consiste en un panal de 37 celdillas como se ve en el dibujo siguiente. Bueno, las letras las he puesto yo e indican los días de la semana como en los taxis: L, M, X, J, V, S y D. (Las abejas lo hacen con diferentes mieles). 

    Para saber qué día de la semana corresponde a una fecha determinada (día/mes/año) solo hay que avanzar tres celdillas (o dos, o una o ninguna) a partir de la celdilla central (el domingo central). Se avanza una celdilla (o ninguna) por el día, otra celdilla (o ninguna) por el mes, y otra celdilla (o ninguna) por el año. La dirección y el sentido de cada avance vienen determinados por las siguientes tablas teniendo en cuenta que para los que quedan en las casillas centrales no se realiza ningún avance.
    Hay dos tablas de años: una para el siglo XX y otra para el siglo XXI (las abejas no entran en polémicas sobre cuándo empiezan y terminan los siglos). Los años bisiestos aparecen en rojo y los demás en azul. Esto afecta a los avances de enero y de febrero, que por ello aparecen también en estos colores. Observad que 2000 fue bisiesto mientras que 1900 no lo fue.
  Por ejemplo, el día 1 de febrero de 2014 es sábado porque para el 1 avanzamos al NE, para febrero (azul) avanzamos al SE y para el 2014 (azul) avanzamos al E. Y no importa el orden NE-E-SE, E-SE-NE... Es como la suma de vectores, que es conmutativa...

    Pepe tiene abejas zumbonas en la cabeza...

    A ver si has entendido bien cómo funciona este calendario perpetuo. Busca el día de la semana en que el hombre pisó la luna por primera vez. Busca también el día de la semana en que naciste.

SOLUCIÓN

    Profe, mire. Hay un problema en este problema... ¡Ahora mismo no es el mismo día en todos los países del mundo!: las fechas dependen de la hora y la hora depende del huso horario... Y la luna no está en la tierra ni en ningún huso horario... En 1969 Neil Armstrong plantó su pie izquierdo en la superficie lunar y pronunció su frase lapidaria "Este es un pequeño paso para un hombre pero un gran salto para la humanidad". Era el día 20 de julio en una parte del planeta Tierra y el 21 de julio en la otra... En el calendario de las abejas, para el 20 avanzamos al SO (no avanzamos nada para el 21), para julio avanzamos al NO y para 1969 avanzamos al E. O sea, SO-NO-E, (o NO-E)... El hombre llegó a la luna un domingo (o un lunes). ¡Funciona!

    Nina Guindilla es más perspicaz de lo que pensaba...

    "El día D a la hora H" comenzó el desembarco de Normandía... ¿En qué día de la semana cayó?

365. SOLUCIÓN de 65. Los números escalera

    Profe, en Informática nos han hablado del sistema de numeración binaria, ya sabe: el 0 y el 1, los bits... Nos dijeron que era un sistema posicional porque el valor del 1 dependía de su posición. El 1 podía tomar los valores de la llamada progresión binaria: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64.... Pero cuando llegamos a los prefijos para los múltiplos, o sea, a los megas, los gigas, los teras..., resulta que no son potencias de 10 sino de 2. ¡Un kilogramo son 1000 (=10³) gramos pero un kilobit son 1024 (=2¹⁰) bits! ¿Qué chapuza es esta de utilizar los mismos prefijos para distintas cantidades?

    A Pepe Chapuzas le extrañó, y con toda razón, esta imprecisión. Le contesté que cuando quisieron poner orden en este asunto era demasiado tarde, pues se crearon unos prefijos propios para el sistema binario (kibi, mebi, gibi, tebi, pebi...) que no cuajaron porque los prefijos decimales (kilo, mega, giga, tera, peta...) eran ya demasiado populares.
    En esto le propuse a Pepe que me demostrara que los términos de la progresión binaria 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64... eran los únicos números naturales que no se podían obtener como suma de números naturales consecutivos, como por ejemplo el 15 = 4+5+6 = 7+8... Pepe me enseñó un dibujo.

    Profe, mire. El 15 es un número escalera:

     Al día siguiente Pepe me enseñó más dibujos que representaban una cadena de demostraciones:

    Profe, mire. He demostrado primero que si en la suma de números naturales consecutivos hay una cantidad impar de sumandos entonces la suma es un múltiplo de un impar distinto de 1, y si hay una cantidad par de sumandos entonces también la suma es un múltiplo de un impar distinto de 1, con lo que demuestro que los términos de la sucesión binaria no son números escalera al no tener divisores impares distintos de 1. Mire los dibujos:

    Después demostré que si un número natural N tiene un divisor impar K distinto de 1 y si K² < 2N entonces N es suma de K números naturales consecutivos, pero si K² > 2N entonces N es suma de 2N:K números naturales consecutivos, por lo tanto los números de la progresión binaria son los únicos naturales que no son números escalera.

    Intenta rehacer las demostraciones de Pepe Chapuzas siguiendo sus indicaciones y con ayuda de sus dibujos.

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla me confesó que tuvo que subir y bajar muchas escaleras para entender al chapuzas de Pepe...

    Profe, mire. Para la primera parte hay que aclarar algo: la sucesión binaria está formada por las potencias de 2 (con exponente entero no negativo). Todos los divisores de una potencia de 2 son también potencias de 2 ya que una potencia de 2 solo se puede dividir por otra potencia de 2. Y como la única potencia impar de 2 es 1, resulta que las potencias de 2 solo tienen un divisor impar: el 1. Como 2 es un número primo (y es el único primo par), y como las factorizaciones de los números son únicas (y exclusivas), si un número no es una potencia de 2 tendrá algún factor primo distinto de 2, es decir, tendrá al menos un divisor impar mayor que 1.

    Nina, a pesar de hacerse un pequeño gran lío, iba por buen camino... para abordar los dibujitos de Pepe...

    Lo segundo que hay que aclarar es que los números escalera son sumas de términos de progresiones aritméticas (con diferencia 1)... Si A y B son dos naturales (A < B), el número escalera A+...+B tendrá B–A+1 sumandos... Y, aplicando la fórmula de la suma de términos de una progresión aritmética, valdrá A+...+B = (A+B)(B–A+1):2... Es evidente que de los dos números, (B–A+1) y (A+B), uno será par y el otro impar mayor que 1, de lo que se deduce que todos los números escalera tienen al menos un divisor impar mayor que 1... Como las potencias de 2 no tienen divisores impares mayores que 1, una potencia de 2 no puede ser un número escalera... ¡Ya voy entendiendo los dibujitos de Pepe!

    Nina había hecho la primera parte y ahora había cogido carrerilla... ¿Serán las potencias de 2 los únicos números que no sean números escalera?

    Ya sabemos que si un número N no es una potencia de 2, tiene un divisor impar K mayor que 1. Si K es impar entonces K² será también impar, y será, o bien K² < 2N, o bien K² > 2N. Distinguimos los dos casos...
    Si K² < 2N entonces N:K > K:2 y el número escalera A+...+B con A = (N:K–K:2+1:2) y B = (N:K+K:2–1:2) existirá. El número de sumandos será B–A+1 = N:K+K:2–1:2–N:K+K:2–1:2+1 = K, y el número escalera valdrá (A+B)(B–A+1):2 = (N:K–K:2+1:2+N:K+K:2–1:2)·K:2 = N. Por lo tanto N sería un número escalera.
    Si K² > 2N entonces K:2 > N:K y el número escalera A+...+B con A = (K:2–N:K+1:2) y B = (K:2+N:K–1:2) existirá. El número de sumandos será B–A+1 = K:2+N:K–1:2–K:2+N:K–1:2+1 = 2N:K, y el número escalera valdrá (A+B)(B–A+1):2 = (K:2–N:K+1:2+K:2+N:K–1:2)·2N:K:2 = N. Por lo tanto N también sería un número escalera.

    Conclusión: Todos los números naturales son números escalera excepto las potencias de 2.

    Esto requiere su tiempo para poder digerirse...

    Escribe el número 6464 como un número escalera, es decir, como suma de naturales consecutivos.

364. SOLUCIÓN de 64. Deletrea las cifras y descifra las letras

    Ayer pillé a Pepe Chapuzas pasando una notita en clase. Tuve que llamarle la atención y pedirle el papelito. Se disculpó y me entregó el "arma del delito"... Cuando acabó la clase cotilleé el contenido de lo confiscado. Era un trabalenguas y un criptograma. El criptograma era una suma donde las cifras estaban codificadas con letras:

    Hay varias soluciones. Encuéntralas todas.
    Y si te animas, aquí tienes más..., pero ten cuidado: no todos tienen solución.

SOLUCIÓN

 

    Os dejo dos razonamientos de Nina Guindilla... ¡Nina es una buena desencriptadora!

 

    DOS+DOS+DOS+DOS=OCHO.

    La suma es 4 veces DOS y empieza por O, por lo tanto O es 1, 2 o 3. La suma también acaba en O, por lo tanto O es par... Ya tenemos O=2. 

    Si O=2 entonces S puede ser 3 u 8, porque 4·3=12 y 4·8=32.

        Si S=3 entonces 4·O+1=4·2+1=9 y por tanto H=9 y D puede ser 5, 6 o 7.

            Si D=5 entonces 4·D=4·5=20 y por tanto C=0. SOLUCIÓN: 523+523+523+523=2092.

            Si D=6 entonces 4·D=4·6=24 y por tanto C=4. SOLUCIÓN: 623+623+623+623=2492.

            Si D=7 entonces 4·D=4·7=28 y por tanto C=8. SOLUCIÓN: 723+723+723+723=2892.

        Si S=8 entonces 4·O+3=4·2+3=11 y por tanto H=1 y D puede ser 5, 6 o 7.

            Si D=5 entonces 4·D+1=4·5+1=21 pero como H=1, C ya no puede ser 1...

            Si D=6 entonces 4·D+1=4·6+1=25 y por tanto D=5. SOLUCIÓN: 628+628+628+628=2512.

            Si D=7 entonces 4·D+1=4·7+1=29 y por tanto D=9. SOLUCIÓN: 728+728+728+728=2912.

 

    DOS+DOS+DOS=SEIS.

    La suma es 3 veces DOS y empieza por S, por lo tanto S es 1 o 2.

        Si S=1 entonces S+S+S=1+1+1=3 y por tanto S=3 en contradicción...

        Si S=2 entonces S+S+S=2+2+2=6 y por tanto S=6 en contradicción...

 

    No os doy las soluciones de Nina para los otros criptogramas... Os los dejo a vosotros...

    Inventa un criptograma y propónselo a tus compañeros...

363. SOLUCIÓN de 63. Cramer y el efecto mariposa

    Profe, me han dicho unos de bachillerato que ellos resuelven los sistemas de ecuaciones lineales con unas fórmulas facilísimas. ¿Por qué no nos las enseña en vez de torturarnos con los métodos de reducción, igualación y sustitución?

    A Pepe Chapuzas le habían hablado de la regla de Cramer... Estábamos haciendo ejercicios de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas y accedí con gusto a su petición. Escribí en la pizarra las "fórmulas facilísimas" para estos sistemas.

    En la yincana matemática de la semana Pepe se encargó de elaborar la primera prueba... Había que resolver un sistema con la regla de Cramer y sin calculadora.

   Generalmente aproximábamos π con 3,14 o 3,1416. El equipo A lo hizo con 3,14 para ser más rápidos y el equipo B con 3,1416 para ser más exactos. Hicieron los cálculos y los revisaron a conciencia... No se habían equivocado en los cálculos, sin embargo los resultados que dieron eran disparatadamente diferentes... Pepe había puesto un ejercicio con trampa que me dio pie a comentar en clase el llamado "efecto mariposa", expresión matemática que se ha popularizado y que se utiliza en muy diversos ámbitos y para muchos eventos de la vida...

    Comprueba que, si los denominadores no se anulan, estas fórmulas de Cramer dan la solución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.
    Calcula las soluciones que obtuvieron los dos equipos. ¿Cuál de los dos equipos superó la prueba?
    Investiga qué es el efecto mariposa y cuéntanoslo.

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla había oído hablar del efecto mariposa en el cine, en la tele... 

    Profe, ¿es verdad que "el aleteo de una mariposa en Hong-Kong puede desatar una tormenta en Nueva York"?

    Le contesté que esta frase se había hecho célebre para explicar que, en muchas ocasiones, pequeñas variaciones en las condiciones iniciales pueden producir grandes variaciones en las condiciones finales... Nina calculó las dos soluciones con las fórmulas de Cramer:

    Equipo A:    
    x = –1,4411 / (3,14 – 2,18·1,4411) = 901,81
    y = 1 / (3,14 – 2,18·1,4411) = –625,78

    Equipo B:
    x = –1,4411 / (3,1416 – 2,18·1,4411) = –720550
    y = 1 / (3,1416 – 2,18·1,4411) = 500000

    Finalmente comprobó que las fórmulas de Cramer proporcionaban efectivamente las soluciones del sistema:

    Nina había hecho los cálculos aritméticos aparte... Y en los algebraicos faltaban pasos intermedios...  Comprueba que todo lo que ha hecho Nina es correcto... y da una interpretación geométrica a la disparidad de las soluciones de los equipos A y B... Haz los cálculos con una aproximación mucho mejor de π (con calculadora). ¿Qué equipo se acercó más?

    ¿En qué parte de las Matemáticas apareció inicialmente el llamado "efecto mariposa"?

362. SOLUCIÓN de 62. El orden de los factores...

    Profe. ¿Cuántas factorizaciones puede tener un número natural?

    Me asombró que Pepe Chapuzas me hiciera semejante pregunta. Ya habíamos explicado en clase que las descomposiciones en factores primos eran únicas para cada número natural, sin contar, eso sí, el orden de los factores... Y así se lo recordé... Entonces me enseñó Pepe en su cuaderno un dibujo de lo que parecían ser naipes de una baraja...

    Mire profe. Yo ya sé que el orden de los factores no altera el producto, pero precisamente me refiero a eso, al orden de los factores, porque a veces se puede descomponer un número natural de varias maneras.

    Pepe había ilustrado las factorizaciones con unos círculos tan chapuceros que parecían aceitunas. Viéndolos era obvio: los primos no se podían descomponer (por eso eran primos), las factorizaciones de las potencias de los primos solo se podían hacer de una manera (pues todos los factores eran iguales), y las demás factorizaciones se podían obtener de varias maneras (según el orden de los factores).

    La respuesta a su pregunta inicial era "permutaciones con repetición" pero faltaba mucho para ver Combinatoria. Al margen de esto, me gustaron tanto los dibujos de Pepe que creo que los utilizaré para introducir el tema de los fractales.

    Investiga qué son permutaciones con repetición. ¿De cuántas formas se puede obtener la factorización de 42000?
    Investiga qué son los fractales. Busca una página web sobre fractales que te llame la atención. Anota su URL.
    Dibuja los naipes correspondientes a las factorizaciones de 13, 14, 15 y 16.

    Espero tu respuesta por e-mail.

SOLUCIÓN

    Estas son las respuestas de Nina Guindilla:

    a) Esta es la descomposición factorial: 42000 = 2⁴ · 3 · 5³ · 7⁴. Sumando los exponentes tenemos el número de factores: 4+1+3+4 = 12. Teniendo en cuenta el orden de los factores, las diferentes factorizaciones de 42000 serán las siguientes: PR₁₂^4,1,3,4 = 12!:4!:1!:3!:4! = 138600.
    b) Si buscamos imágenes de fractales en Google tenemos una bonita colección...
    c) Solo he dibujado los naipes. No he puesto las factorizaciones...

    Escribe tú las factorizaciones correspondientes a cada naipe...  

361. SOLUCIÓN de 61. Una mosca supersónica

    Aquí tenéis un acertijo matemático que planteó Pepe Chapuzas a sus compañeros. Y que ahora os plantea también a vosotros.

    Dos locomotoras (no tripuladas) circulaban al encuentro por la misma vía. Iban ambas a 120 km/h. Cuando estaban separadas 60 km una mosca supersónica empezó a volar de una a otra a una velocidad doble que la velocidad del sonido. (La velocidad del sonido es de 340 m/s). Cuando llegaba a una locomotora rebotaba y se dirigía a la otra. Y así fue rebotando una y otra vez, siempre a la misma velocidad, hasta que al final las locomotoras chocaron y la mosca murió espachurrada. ¿Cuántos kilómetros voló la mosca supersónica?

SOLUCIÓN

    A Nina Guindilla, el final de la mosca le pareció muy cruel... Pepe Chapuzas cambió la historia y salvó a la mosca en el último momento...

 

    Profe, mire. Las locomotoras se aproximaban a 120 + 120 = 240 km/h, por lo que tardaron en chocar 60 : 240 = 0,25 horas (15 minutos). La mosca volaba a 2 · 340 · 3600 : 1000 = 2448 km/h, por lo que hasta el choque de locomotoras voló 2448 · 0,25 = 612 kilómetros... ¡Supersónica!

 

    Investiga y dinos a qué velocidad puede volar una mosca doméstica de verdad.

360. SOLUCIÓN de 60. ¡Marchando una de cenefas!

    En la última revisión de cuadernos me llamó la atención la manera que tiene Pepe Chapuzas de decorar su cuaderno: el título de cada tema viene acompañado de un adorno en forma de cenefa. Bueno, el último tema carecía de cenefa... Le pregunté a Pepe por estos adornos y me contestó que realmente no eran adornos y que cada cenefa correspondía a un tema particular y no se podían intercambiar. Quedé intrigado por las explicaciones de Pepe. Le hice notar que faltaba la última cenefa y me comentó que era porque se le había gastado el rotulador rojo...

    Aquí reproduzco las cenefas
    Adelántate a Pepe y dinos cómo es la cenefa que falta. Mándame el dibujo por correo electrónico.

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla dio con la cenefa del tema 8:

    ¿Cuál es la cenefa del tema 9?

359. SOLUCIÓN de 59. Las PG y las PA van en tándem

    Profe mire, los números de la izquierda están en PG (progresión geométrica). Y sus logaritmos (decimales), que son los números de la derecha, están en PA (progresión aritmética). He descubierto que los logaritmos de las PG son PA. Y si tomo logaritmos en las fórmulas de las PG me salen las fórmulas de las PA... ¡Ya no tengo que aprenderme tantas fórmulas! Las PG y las PA van en tándem...

    Pepe Chapuzas "casi" tenía razón. Tuve que puntualizar su intervención. Le indiqué, para empezar, que para obtener una PA la PG tenía que ser positiva, si no, no se podría tomar logaritmos; y que si tomaba logaritmos en la fórmula de la suma de términos de una PG no salía ninguna fórmula de las PA...

    Demuestra que el logaritmo de una PG positiva es una PA.
    Obtén la fórmula del término general de una PA tomando logaritmos en la fórmula del término general de una PG.
    Obtén la fórmula de la suma de términos de una PA tomando logaritmos en la fórmula del producto de términos de una PG.
    Si te sale me lo explicas...

SOLUCIÓN

    Profe, mire. En una PG tenemos a_n+1 = a_n · r, y si tomo logaritmos, log a_n+1 = log a_n + log r, que es una PA:  b_n+1 = b_n + d.
    El término general de una PG es a_n = a₁ · r^n–1, y por tanto, log a_n = log a₁ + (n–1) · log r, que es el término general de una PA: b_n = b₁ + (n–1)·d.
    El producto de términos consecutivos de una PG es a₁ · a₂ · ... · a_n = (a₁ · a_n)^n:2, y por tanto tenemos, log a₁ + log a₂ + ... + log a_n = (log a₁ + log a_n) · n : 2, que es la fórmula de la suma de términos consecutivos de una PA: b₁ + b₂ + ... + b_n = (b₁ + b_n) · n : 2.

    Nina Guindilla se sabe muy bien las fórmulas de las progresiones y las propiedades de los logaritmos...
    Haz lo mismo que Nina pero al revés... A partir de las fórmulas de las PA, obtén las fórmulas de las PG tomando antilogaritmos.

358. SOLUCIÓN de 58. Los quesos de Tic y Tac (2ª parte)

    El mal tiempo insistía y Pepe Chapuzas con sus historias también:

    La última vez que visité a los ratoncillos Tic y Tac estaban alborotados. Don Arquímedes les había explicado por fin los volúmenes... Pero no estaban alborotados por eso sino porque habían fabricado una máquina para resolver ecuaciones de tercer grado siempre que las soluciones estuvieran comprendidas entre –10 y 10 (esta limitación se debía a la escasez de queso). En realidad la máquina consistía en una balanza con dos brazos rectos y cuatro platillos. Los brazos eran sencillamente una regla numerada. A la izquierda estaban los números negativos, –1, –2, –3..., y a la derecha los positivos, 1, 2, 3... En el fiel estaba el 0. Me fueron explicando el funcionamiento de veras entusiasmados... Me dijeron que tenían tres quesos y que los tres medían 10 cm de altura. El primer queso tenía forma de pirámide egipcia y el cuadrado de la base era de 300 cm². El segundo tenía forma de escuadra (o medio sándwich) de 1 cm de espesor y estaba apoyado sobre el canto más largo. El tercero tenía forma de tiza y la base era de 1 cm². Con las fórmulas de don Arquímedes habían calculado que si rebajaban x cm la altura de los tres quesos mediante un corte horizontal, entonces los quesos menguaban x³ cm³, x² cm³ y x cm³ respectivamente. Había además un cuarto queso pequeñito: era un cubito de 1 cm³ de volumen que, según me advirtieron, no se podía cortar en absoluto...

    Llegó la hora de poner un ejemplo: x³ – 8x² + 5x + 14 = 0. Entonces Tic y Tac colgaron los platillos en los números 1, –8, 5 y 14 de la regla, que eran los coeficientes de la ecuación y calibraron la balanza. El quesito cúbico lo pusieron en el platillo del 14. Después fueron cortando lonchas superfinas de los otros tres quesos horizontalmente. Ponían una loncha del primer queso en el platillo del 1, una loncha del segundo queso en el platillo del –8 y una loncha del tercer queso en el platillo del 5. Repitieron el proceso hasta que la balanza se equilibró. Los quesos habían bajado 2 cm. Entonces entendí. El queso de los platillos hacía palanca en los brazos de la balanza y la ecuación representaba la suma de los momentos de fuerza. Por tanto la solución era x = 2. Siguieron haciendo lonchas y llenando los platillos. La balanza se desequilibró al principio pero se equilibró de nuevo para x = 7. ¡Otra solución! Entonces se detuvieron. Les pregunté si su máquina podía calcular soluciones negativas y me respondieron que sí podía pero que necesitaban más queso... 
    Comprueba los cálculos de Tic y Tac. ¿Son correctos los principios en que se basa la máquina?
    En la ecuación del ejemplo falta por averiguar una solución negativa ¿Cómo se podría calcular con la balanza de Tic y Tac?

SOLUCIÓN

    Profe, mire. El queso piramidal tiene un volumen de V = B·H:3 = 300cm²·10cm:3 = 1000cm³ y la piramidita (azul) de altura x tendrá un volumen de x³·1000:10³ = x³. El queso en forma de escuadra tiene un volumen de V = B·H:2 = 20cm²·10cm:2 = 100cm³ y la escuadrita (azul) de altura x tendrá un volumen de x²·100:10² = x². Y el queso en forma de prisma tiene un volumen de V = B·H = 1cm²·10cm = 10cm³ y el prismita (azul) de altura x tendrá un volumen de x·10:10 = x. No olvidemos que los pesos de los quesos son fuerzas proporcionales a sus volúmenes...
    La balanzas se equilibran cuando se igualan los momentos de fuerza (torques). Estos se calculan multiplicando los pesos por la distancia al punto de apoyo (fiel de la balanza) y por lo tanto son los monomios de la ecuación. El equilibrio representa por lo tanto la resolución de la ecuación (solución positiva). Para obtener la solución negativa se cambian los platillos de posición para resolver la ecuación – x³ – 8x² – 5x + 14 = 0 (cambiando x por –x). La solución negativa es x = –1.

    ¡Bravo por Nina Guindilla!
    ¿Qué otro queso habría que tener para resolver ecuaciones de cuarto grado?

357. SOLUCIÓN de 57. Los quesos de Tic y Tac

    Era la hora del recreo y llovía a cántaros. Esperamos un poco a que escampara pero como no amainaba el temporal nos quedamos en el aula. Pepe Chapuzas, que es un cuentacuentos aficionado, nos amenizó la espera... con un cuento con cuentas.

    Os voy a revelar un secreto: he descubierto dos ratoncillos en la torre del reloj... y por eso les he puesto los nombres de Tic y Tac. Como los vi hambrientos les llevé tres quesos que había en la despensa. Uno era cónico como los quesos de tetilla, otro era semiesférico como medio queso de bola y el tercero era cilíndrico como los quesos del pueblo. Me di cuenta de que los tres quesos tenían la misma anchura y la misma altura. Le di los dos primeros quesos a Tic y el tercero, que era el mayor, se lo di a Tac.

    Los ratoncillos, en vez de ponerse contentos, empezaron a discutir porque los dos creían que el otro tenía más queso... Tuve que demostrarles con las fórmulas de los volúmenes, y asegurándoles que los quesos no tenían agujeros por dentro, que ambos habían recibido la misma cantidad; pero no se convencieron porque, según me contaron, en la escuela de don Arquímedes, el búho del campanario, todavía no habían llegado a los volúmenes; tan solo habían visto las áreas... Así que tuve que convencerles de otra manera... Les dije que tenían que comerse los quesos en lonchas circulares (cortadas horizontalmente).

    Por cada loncha que se comiera Tac de su queso cilíndrico, Tic se comería una loncha de su queso cónico y una loncha de su queso semiesférico. Las lonchas tendrían que ser superfinas, del grosor de una molécula de queso (les aseguré que todas las moléculas de queso eran iguales ;-) y que las lonchas no se podían hacer más finas porque cuando se rompen las moléculas de queso, el queso deja de ser queso). Así, loncha a loncha, los quesos menguarían en altura a la par y se acabarían a la vez. Y como ya sabían calcular áreas podían comprobar solitos que en cada almuerzo los dos se comerían el mismo número de moléculas...

    Dicho y hecho: hicieron los cálculos... y las paces..., aunque los quesos se los comieron en un día y no en lonchas precisamente.

    ¡Venga! ¡A hacer las cuentas! Calcula los volúmenes de los quesos y las áreas de las lonchas y comprueba lo que se cuenta en el cuento. ¿Es correcto el razonamiento de Pepe?

    El cuento, no obstante, no había terminado. El final lo contó durante el siguiente chaparrón.

    Fui a ver a Tic y a Tac de nuevo y me habían preparado una sorpresa. En agradecimiento me obsequiaban con sendos regalitos de madera que habían tallado ellos mismos. Me hizo mucha ilusión. El de Tic era un tetraedro regular de 2 cm de arista. Y el de Tac era un elipsoide de ecuación π x² + π y² + 2 z² ≤ 1. Además me aseguraron que los dos objetos tenían el mismo volumen a pesar de ser tan diferentes. No sabían calcularlo aún pero, si el artificio de las lonchas era válido, los volúmenes tenían que coincidir... 

    Demuéstralo. Observa el dibujo y calcula las áreas de las secciones (lonchas) y los volúmenes. Y me lo cuentas todo.

SOLUCIÓN

    A Nina Guindilla no le daban miedo los ratones (al menos los de los cuentos)... 

    Profe, mire. Los volúmenes de los quesos son:

    Semiesfera de radio R: V=2πR³:3
    Cono de radio R y altura R: V=πR³:3
    Cilindro de Radio R y altura R: V=πR³

    Es evidente que los dos quesos pequeños equivalen al queso grande...
    Si lo hacemos por lonchas cortadas a altura H, las áreas de estos círculos son:

    Loncha de semiesfera: A=πH(2R–H)   (Teorema de la altura)
    Loncha de cono: A=π(R–H)²
    Loncha de cilindro: A=πR²

    La loncha grande equivale a las dos lonchas pequeñas.
    El razonamiento de Pepe es correcto. Ilustra el conocido como principio de Cavalieri...

    Los volúmenes, en centímetros cúbicos, del elipsoide y del tetraedro son iguales: √8:3
    Las áreas, en centímetros cuadrados, de las secciones a altitud H respecto del centro (del elipsoide y del tetraedro) son iguales: 1–2H²

    Profe. me ha sorprendido que las lonchas del tetraedro y del elipsoide, siendo objetos tan diferentes, tuvieran la misma área... 
   
    Nina me dio los resultados los resultados: faltan los pasos intermedios, los cálculos, los razonamientos... Obtén los resultados de Nina de la forma más rigurosa que puedas.

    ¿Por qué crees que el búho del cuento de Pepe se llamaba don Arquímedes?.