1691. Polos y polares...

    Profe, mire. En el plano proyectivo existen unas interesantes biyecciones llamadas dualidades entre el conjunto de puntos y el conjunto de rectas... Las dualidades más famosas son las polaridades, en las que si se corresponden un punto P con una recta p, la recta p se llama polar de P y el punto P se llama polo de p. La polaridad más sencilla se define de la siguiente manera:

    O ↔ o : donde O es el origen de coordenadas y o es la recta ideal del infinito.

    I ↔ i : donde I está en o e i pasa por O. Se cumple que OI ⟂ i.

    P ↔ p : donde P no es un punto de los anteriores ni p es una recta de las anteriores. Se cumple que dist(O, P)·dist(O, p) = 1, que OP ⟂ p y que O no está entre P y p.

    Un caso particular: Si dist(O, P) = dist(O, p) = 1, entonces P es un punto de p.

    Pepe Chapuza nos acababa de presentar a los polos y a las polares. Pedí a mis alumnos que demostraran los siguientes resultados duales:

    "Si el polo P de una recta p está en la polar q de un punto Q, entonces Q está en p; si la polar q de un punto Q pasa por el polo P de una recta p, entonces p pasa por Q".

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla disfruta con la geometría...

    Mire, profe. Los dos enunciados son equivalentes y se argumentan de la misma manera... Sean respectivamente R y S los puntos de p y q más próximos a O. Como se tiene que dist(O, P)·dist(O, R) = dist(O, Q)·dist(O, S) = 1, hay una circunferencia c que pasa por P, Q, R y S respecto de la cual la potencia de O es 1. Como P está en q, el ángulo PSQ es recto, el segmento PQ es una diagonal de c, el ángulo PRQ es recto y Q está en p.

    Nina ha supuesto que P y S son diferentes (si coinciden los resultados serían obvios). Se deja al lector que argumente los resultados en caso de involucrar a los puntos I u O y a las rectas i u o.

    También pedí a mis alumnos que demostraran estos otros resultados duales:

    "Los polos de las rectas de un haz forman una recta; las polares de los puntos de una recta forman un haz".

RESOLUCIÓN

    Mire, profe. Basta con probar que dados P ↔ p y Q ↔ q, si T es el punto común de p y q, y si t es la recta que pasa por P y Q, entonces  T ↔ t. Pero esto es fácil... Si T está en p y en q, entonces P y Q están en la polar de T, por lo tanto la polar de T es t. Recíprocamente, si t pasa por P y Q, entonces p y q se cortan en el polo de t, por lo tanto el polo de t es T.

    Al terminar, Yoyó Gaviota comentó lo siguiente:

    Profe, mire. La dualidad permite relacionar teoremas... El teorema de Ceva y el teorema de Menelao son duales. También son duales el teorema de Pascal y el teorema de Brianchon. El teorema de Desargues es autodual...