1684. Tangente y normal...

    Como aplicación de las derivadas estábamos viendo las ecuaciones de las rectas tangente t y normal n de una curva c dada por su ecuación explícita  c : y = f (x)  en un punto P de coordenadas P(x_P, y_P) ≡ P(x_P, f (x_P)). Suponíamos siempre la derivabilidad de las funciones que aparecían...

    Profe, mire. La ecuación punto-pendiente  y − y_P = p (x − x_P)  es idónea para esta cuestión (p es la pendiente). Así la ecuación de t será  t : y − f (x_P) = f '(x_P) (x − x_P)  y la ecuación de la recta normal será  n : y − f (x_P) = −1/f '(x_P) (x − x_P)  ya que la pendiente de una perpendicular a una recta de pendiente p es el opuesto del inverso (o el inverso del opuesto) de p, esto es, −1/p.

    Pero profe, si la ecuación de la curva viene dada en forma implícita  c : F (x, y) = 0  entonces el vector normal a la curva en el punto P será  v = (F_x (x_P, y_P), F_y (x_P, y_P)) , y las ecuaciones de las rectas serán

t : F_x (x_P, y_P) (x − x_P) + F_y (x_P, y_P) (y − y_P) = 0

n : (x − x_P) / F_x (x_P, y_P) = (y − y_P) / F_y (x_P, y_P)

    Si combinamos las dos funciones  F(x, y) =  f (x) − y  entonces  v = (f '(x_P), −1)  que corrobora el valor de la pendiente de la recta normal  −1/f '(x_P) .

    ¿Cómo se obtienen las ecuaciones del plano tangente τ y de la recta normal m de una superficie σ?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla empezó con una superficie dada por su ecuación implícita  σ : G(x, y, z) = 0 .

    Profe, mire. El vector normal de la superficie en el punto Q(x_Q, y_Q, z_Q) es

w = (G_x (x_Q, y_Q, z_Q), G_y (x_Q, y_Q, z_Q), G_z (x_Q, y_Q, z_Q))

por lo que las ecuaciones de m y τ son

m : (x − x_Q) / G_x (x_Q, y_Q, z_Q) = (y − y_Q) / G_y (x_Q, y_Q, z_Q) = (z − z_Q) / G_z (x_Q, y_Q, z_Q)

τ : G_x (x_Q, y_Q, z_Q) (x − x_Q) + G_y (x_Q, y_Q, z_Q) (y − y_Q) + G_z (x_Q, y_Q, z_Q) (z − z_Q) = 0

    ¿Y si la superficie viene dada con una ecuación explícita  z = g (x, y) ?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota combinó las dos funciones  G (x, y, z) = g (x, y) − z ...

    Mire, profe. Ahora  w = (g_x (x_Q, y_Q), g_y (x_Q, y_Q), −1)  por lo tanto las ecuaciones son

m : (x − x_Q) / g_x (x_Q, y_Q) = (y − y_Q) / g_y (x_Q, y_Q) = −(z − z_Q)

τ : g_x (x_Q, y_Q) (x − x_Q) + g_y (x_Q, y_Q) (y − y_Q) − (z − z_Q) = 0