1670. La potencia matricial (2ª parte)

    Había escrito en la pizarra una pequeña matriz...

...y pedía calcular A²¹³ y A³¹². Era fácil, ¿verdad? Pepe Chapuza salió a la "palestra"...

    Profe, mire...

...por lo tanto, si n es par Aⁿ = −A y si n es impar Aⁿ = A. Esto es válido para valores de n>0. Así que A²¹³ = A y A³¹² = −A. 

    Pepe propuso un ejercicio similar pero ahora con una matriz mayor:

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla calculó las primeras potencias y dio con la clave...

    Mire, profe:

    por lo tanto... Bⁿ = I si n ≡ 0 mod 3, Bⁿ = B si n ≡ 1 mod 3 y Bⁿ = Bᵗ si n ≡ 2 mod 3. Y en este caso vale para todos los números enteros n.

    Nina propuso un ejercicio de recurrencia...

    Mire, profe. Si sabemos de una matriz cuadrada C que C² = 3C+2I, calcula C⁴ y C⁻¹.

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota calculó:

    Profe, mire: 

    C⁴ = (C²)² = (3C+2I)² = 9C² + 12C + 4I = 9(3C+2I) + 12C + 4I = 39C + 22I

    C⁻¹ = IC⁻¹ = (C² − 3C)C⁻¹/2= (C − 3I)/2 = 0,5C − 1,5I.

1669. Haces ortogonales (2ª parte)

     Profe, mire. ¿Cuál sería un haz ortogonal al haz de parábolas de eje vertical con vértice en el origen de coordenadas?

    Pepe Chapuza hizo un dibujo chapucero y parecía que una solución era un haz de elipses. ¿Tú que crees?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla partió de las ecuaciones de las parábolas en cuestión...

    Profe, mire. Una parábola de ecuación y = ax² tiene pendientes dy/dx= 2ax. Las pendientes ortogonales serán dy/dx = −1/(2ax) = −x/(2y) ya que a = y/x², esto es, 2ydy = −xdx. Integrando los dos miembros tenemos y² = −x²/2 + b, esto es, x²/2 + y² = b, que es una elipse de excentricidad √2/2.

    Nina propuso hallar un haz ortogonal al haz de hipérbolas equiláteras con asíntotas en los ejes de coordenadas... También hizo un dibujo chapucero... intuitivamente... 

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota razonó así... 

    Mire, profe. La hipérbola de ecuación y = a/x tiene pendientes dy/dx = −a/x². Las pendientes ortogonales serán dy/dx = x²/a = x/y ya que a = xy, esto es ydy = xdx. Integrando se obtiene y²/2 + b = x²/2, esto es, x² − y² = 2b, que es una hipérbola equilátera con asíntotas en las bisectrices de los cuadrantes.

1668. Haces ortogonales...

     Pepe Chapuza había traído el siguiente dibujo:

     Profe, mire. El haz de circunferencias con centro en el punto (0, 0) y el haz de rectas que pasan por el punto (0, 0) son haces ortogonales porque todas esas rectas cortan perpendicularmente a todas esas circunferencias.

     Aunque era evidente, Pepe justificó su afirmación... (En lo que sigue las letras minúsculas r y s representan variables y las mayúsculas R y S constantes.) 

    Mire, profe. La recta de ángulo S (r cos S, r sen S) corta a la circunferencia de radio R         (R cos s, R sen s) en el punto (R cos S, R sen S). Derivando respecto de r y s se obtienen respectivamente los vectores tangentes de la recta y de la circunferencia en esa intersección: (cos S, sen S) y (– R sen S, R cos S) cuyo producto escalar es nulo. Es similar en el otro punto de corte. 

    Entonces comenté que menos evidente era que el haz de parábolas convexas con foco en (0, 0) y el haz de parábolas cóncavas con foco en (0, 0) eran también haces ortogonales. ¡Compruébalo! 

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla lo comprobó... 

    Profe, mire. 

    La parábola cóncava de distancia focal R² (2Rs, s²–R²) y la parábola convexa de distancia focal S² (2rS, S²–r²) se cortan en el punto (2RS, S²–R²). Los vectores tangentes a las parábolas en esta intersección serán (2R, 2S) y (2S, –2R) cuyo producto escalar es nulo. En el otro punto de corte es similar. 

    Luego añadí que tampoco era evidente que el haz de las elipses con focos en (1, 0) y (–1, 0) y el haz de las hipérbolas con focos en (1, 0) y (–1, 0) son también haces ortogonales... 

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota se acordó de las trigonometrías elíptica e hiperbólica... 

    Profe, mire. 

    La hipérbola de excentricidad sec R (cos R cosh s, sen R senh s) y la elipse de excentricidad sech S (cos r cosh S, sen r senh S) se cortan en el punto (cos R cosh S, sen R senh S). Los vectores tangentes en esta intersección son (cos R senh S, sen R cosh S) y         (–sen R cosh S, cos R senh S) cuyo producto escalar es nulo. En los otros puntos de corte es similar...

    Se deja al lector avezado que compruebe que los focos de las cónicas están donde deben... 

1667. Un sistema de matrices

     Había propuesto este sistema lineal de ecuaciones matriciales...

y Pepe Chapuza lo resolvió... ¡por el método de Cramer!

    Profe, mire:

    ¡La solución era correcta! Compruébala...

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla hizo la comprobación...

    Alguien quiere resolver el sistema con otro método

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota lo hizo por el método de la matriz inversa... ¡con matrices de matrices!

    Mire, profe. El sistema se puede escribir como una ecuación matricial... 

1666. Construcciones euclídeas. (2ª parte)

    Profe, mire. Dadas estas tres rectas paralelas A, B y C hay que trazar un cuadrado que tenga un vértice en A, otro en B y otro en C. 

    Pepe Chapuza propuso esta construcción. Bastaba con averiguar la longitud del lado del cuadrado... ¡Ánimo! 

SOLUCIÓN

    Mire, profe. Hay más de una solución... Si trazamos dos rectas D y E, perpendiculares a las dadas, tales que dist(D,E) = dist(A,B), entonces la diagonal del rectángulo determinado por B, C, D y E es el lado de una de las soluciones... Las otras soluciones se obtienen de manera similar... 

    Nina Guindilla dio con la solución. Ahora... ¿Cómo se trazaría un triángulo equilátero que tenga un vértice en A, otro en B y otro en C? 

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota construyó el triángulo... 

    Mire, profe. Tracemos dos rectas paralelas F y G, que formen un ángulo de 60º con las dadas, tales que dist(F,G) = dist(A,B), entonces la diagonal mayor del paralelogramo determinado por B, C, F y G es el lado de la solución... 

    Se deja al lector justificar las construcciones... 

1665. Construcciones euclídeas...

     Estábamos resolviendo problemas de dibujo con regla y compás. En la época de Euclides no se distinguía el dibujo técnico de la geometría... Pepe Chapuza planteó el siguiente problema:

     Dadas las dos circunferencias A y B, trazar una recta horizontal que corte a ambas y determine con ellas sendas cuerdas iguales.

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla cogió la regla y el compás y razonó de la siguiente manera:

    Mire, profe. Trazamos una vertical por el centro de A y una horizontal por el centro B. Trazamos una circunferencia C con centro en el punto de intersección de estas dos rectas y con el mismo radio que B. La recta que pasa por los puntos de intersección de A y C es la solución...

    Nina manejó la regla y el compás con destreza... Y propuso el siguiente problema euclídeo...

    Dadas estas dos circunferencias D y E con radios iguales, y dado el segmento horizontal F, trazar otro segmento horizontal con la misma longitud que F y cuyos extremos estén uno en D y otro en E.

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota también era hábil con la regla y el compás:

    Profe, mire. Tracemos un segmento horizontal G con la longitud de F y con el extremo izquierdo en el centro de D. Tracemos ahora la circunferencia H con el mismo radio de D (y E) y centro en el  extremo derecho de G. Los segmentos horizontales con la longitud de F (y G) y con extremos derechos en los puntos de intersección de E y H son las soluciones del problema...

1664. Numerales genéricos

     Mire, profe. Tenemos diversas palabras para expresar los números: los numerales... Hay cardinales: tres, doce, cien...; ordinales: tercero, duodécimo, centésimo...; partitivos: tercio, doceavo, centavo...; multiplicativos: triplo, duodécuplo, céntuplo...; colectivos: trío, docena, centenar... Pero en matemáticas muchas veces se utilizan letras para representar números genéricos... Por ejemplo, el número n (ene) sería un cardinal... ¿Cómo serían los otros numerales relacionados con n? 

    Creo que Pepe Chapuza sabía la respuesta a su propia pregunta... Pero dejé que otros contestaran... 

SOLUCIÓN 

    Profe, mire. Algunos ordinales y partitivos coinciden: cuarto, quinto, sexto... Mas muchos ordinales terminan en -ésimo y muchos partitivos en -avo, por eso se puede decir para los genéricos n-ésimo (enésimo) y n-avo (eneavo) respectivamente... Esto es, n.º y /n.

    Nina Guindilla habló de los ordinales y partitivos. ¿Y los otros numerales? 

RESOLUCIÓN

   Yoyó Gaviota terminó la respuesta... 

    Profe, mire. Para los multiplicativos se emplea el sufijo -plo, y se podría denominar quizás n-plo (éneplo) al múltiplo genérico... Para los colectivos existe una buena colección de sufijos incluso para el mismo número: trío, terna, terceto, tríada, triplete, trinidad... En matemáticas se utiliza para un conjunto ordenado de n elementos las extrañísimas palabras n-pla (énepla), n-upla (eneupla) o n-tupla (enetupla)...