1670. La potencia matricial (2ª parte)

    Había escrito en la pizarra una pequeña matriz...

...y pedía calcular A²¹³ y A³¹². Era fácil, ¿verdad? Pepe Chapuza salió a la "palestra"...

    Profe, mire...

...por lo tanto, si n es par Aⁿ = −A y si n es impar Aⁿ = A. Esto es válido para valores de n>0. Así que A²¹³ = A y A³¹² = −A. 

    Pepe propuso un ejercicio similar pero ahora con una matriz mayor:

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla calculó las primeras potencias y dio con la clave...

    Mire, profe:

    por lo tanto... Bⁿ = I si n ≡ 0 mod 3, Bⁿ = B si n ≡ 1 mod 3 y Bⁿ = Bᵗ si n ≡ 2 mod 3. Y en este caso vale para todos los números enteros n.

    Nina propuso un ejercicio de recurrencia...

    Mire, profe. Si sabemos de una matriz cuadrada C que C² = 3C+2I, calcula C⁴ y C⁻¹.

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota calculó:

    Profe, mire: 

    C⁴ = (C²)² = (3C+2I)² = 9C² + 12C + 4I = 9(3C+2I) + 12C + 4I = 39C + 22I

    C⁻¹ = IC⁻¹ = (C² − 3C)C⁻¹/2= (C − 3I)/2 = 0,5C − 1,5I.