1651. El plano de Fano

    Habíamos hablado de las geometrías afines planas finitas... que se construían a partir de dos axiomas: por dos puntos separados pasa una sola recta y por un punto separado de una recta pasa una sola paralela. Y puse como ejemplo el "esqueleto" del tetraedro: cuatro puntos (los vértices) y seis rectas (las aristas). Pepe Chapuza aclaró.

    ¡Claro, profe! Las rectas paralelas son las aristas opuestas... entendiendo por paralelas que tienen intersección vacía...

    Pepe preguntó a continuación... 

    Si el segundo axioma fuera que dos rectas distintas siempre tienen un único punto común, ¿podríamos hablar de geometría proyectiva plana finita?

    La respuesta fue que sí y que un bonito ejemplo era el llamado plano de Fano... Así que ya había tema para investigar... 

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla investigó los dos planos finitos comentados: el afín y el proyectivo...

    Mire, profe... 

    En el primer plano podemos asignar las coordenadas (0,0), (0,1), (1,0) y (1,1) a los cuatro puntos y las ecuaciones (0,T), (T,0), (1,T), (T,1), (T,T) y (T,1−T) a las seis rectas (T∈{0,1}). 

    En el segundo plano, el de Fano, hay siete puntos y siete rectas. (La circunferencia representa una recta...)

    Como cabía esperar, asignamos a los puntos coordenadas homogéneas: (0,0,1), (0,1,0), (1,0,0), (0,1,1), (1,0,1), (1,1,0) y (1,1,1). Y a las rectas, las ecuaciones homogéneas x≡0, y≡0, z≡0, x+y≡0, x+z≡0, y+z≡0 y x+y+z≡0. (Módulo 2.) 

    Comenté que el plano de Fano estaba relacionado con los octoniones... Ya hay otro tema de investigación... 

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota es buen investigador... 

    Mire, profe... En lo que sigue las letras minúsculas cursivas representan unidades imaginarias, las redondas minúsculas son números reales, las redondas mayúsculas son complejos y las cursivas mayúsculas son cuaterniones... 

    Pues bien. Los números complejos son binomios a+bi.

    Del mismo modo, los cuaterniones son binomios P+Qj.

P+Qj = a+bi+(c+di)j = a+bi+cj+dk

...porque ij = k. Sabemos que los productos de las unidades imaginarias se representan así:

    Pues bien, los octoniones son binomios U+Vl.

U+Vl = P+Qj+(R+Sj)l = a+bi+cj+dk+(e+fi+gj+hk)l = a+bi+cj+dk+el+fm+gn+ho

...y ya van siete unidades imaginarias... Sus productos se pueden representar con este diagrama:

    ¿Lo ve? ¡Es el plano de Fano!

    Yoyó comentó que el proceso de crear más binomios añadiendo unidades imaginarias puede continuar con los sedeniones, los trigintaduoniones...