1648. Engranajes...

     Pepe Chapuza trajo un dibujo de un engranaje de cuatro ruedas dentadas A, B, C y D. El par A-B estaba engranado, el par B-C era solidario y el par C-D estaba engranado. En la chapuza de dibujo no se veían los dientes de las ruedas, solo se indicaba el número de ellos en cada una de ellas. Helo aqui...

    Profe, mire. ¿Cuántas vueltas tiene que dar la corona para que el piñón dé 200? 

    (La corona es la rueda A y el piñón es la rueda D.)

SOLUCIÓN

    Niña Guindilla le dio una vuelta a la corona... 

    Mire, profe. En un par engranado, el número de vueltas es inversamente proporcional al número de dientes. En un par solidario el número de vueltas coincide... Si le damos una vuelta a la corona, la rueda B dará 50/24 = 25/12 vueltas, la rueda C también dará 25/12 vueltas y el piñón dará  25/12·35/14 = 125/24 vueltas. Así, para que el piñón dé 200 vueltas, la corona ha de dar 200·24/125 = 38,4 vueltas.

    Muy bien... ¿Quién da el resultado en dientes?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota le hincó el diente a la pregunta...

    Profe, mire. 

    38,4 vueltas de la corona son 38,4·50 = 1980 dientes.

    200 vueltas del piñón son 200·14 = 2800 dientes.

1647. Los primos de Fermat

    No. No se trataba de parientes, sino de unos números naturales primos peculiares. Pepe Chapuza había escrito cinco de ellos en la pizarra... y una fórmula...

    Busca información y ya nos contarás... 

SOLUCIÓN

    Niña Guindilla empezó con los números de Fermat... 

    Mire, profe. Un número es de Fermat si responde a la fórmula que escribió Pepe para algún natural n. Pues un primo de Fermat es un número de Fermat primo... Pepe ha escrito los cinco primeros números de Fermat y los cinco son primos, esto es, son primos de Fermat... Fermat conjeturó que todos "sus" números eran primos pero Euler descompuso el sexto (4294967297 es divisible por 641) y otros han descompuesto otros. De hecho no se ha encontrado aún ningún otro primo de Fermat. 

    Hay una relación entre los primos de Fermat y los polígonos regulares construibles con regla y compás... Averígualo...

RESOLUCIÓN

    Mire, profe. El teorema de Gauss-Wantzel afirma que un polígono regular de N lados es construible con regla y compás si y solo si en la factorización de N solo aparecen el 2 y/o primos de Fermat... A lo largo de la historia se ha conseguido construir los polígonos regulares correspondientes a los cinco (primeros) primos de Fermat... Son (por ahora) los primordiales para la construcción de los demás...

    Yoyó Gaviota además nos recordó que en clase de dibujo habían enseñado a construir el triángulo equilátero, el cuadrado, el pentágono regular, el hexágono regular y otros con regla y compás..., pero el heptágono regular no se puede... Siete no es un primo de Fermat... 

1646. Armonía geométrica

    Pepe Chapuza mostró a la clase un sencillo dibujo que era un sencillo problema:

    Mire, profe. Si a y b son los catetos de un triángulo rectángulo, d es el lado del cuadrado inscrito que comparte el ángulo recto y s = 2d es el semiperímetro del cuadrado, entonces s es la media armónica de a y b...

    Bonito resultado... que habrá que demostrar...

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla lo hizo de la siguiente manera:

    Profe, mire. El cuadrado separa dos triángulos rectángulos semejantes por lo que sus catetos son proporcionales...

(a−d)/d = d/(b−d)

(a−d) (b−d) = dd

ab = (a+b)d

s = 2d = 2ab/(a+b) = 2/(1/a+1/b)

    Se puede decir que el lado d es el inverso de la suma de los inversos de los catetos a y b... 

d = 1/(1/a+1/b)

    Perfecto... Por cierto, ¿habéis oído hablar de la media contraarnónica? ¡Investigad!

RESOLUCIÓN

    Escuchemos a Yoyó Gaviota. Algo tiene que decirnos...

    Profe mire. La media contraarmónica de dos números x e y es (xx+yy)/(x+y), Esto es, se divide entre la suma de los números la suma de sus cuadrados. Así, por ejemplo, la media contraarmónica de 3 y 7 es (9+49)/(3+7) = 5,8. He aquí cuatro relaciones entre medias:

    1) La media contraarmónica es igual al doble de la media aritmética menos la media armónica.

    2) La media aritmética es igual a la media aritmética de las medias armónica y contraarmónica.

    3) La media geométrica es igual a la media geométrica de las medias aritmética y armónica.

    4) La media cuadrática es igual a la media geométrica de las medias aritmética y contraarmónica.

    Yoyó no podía despedirse sin sendas demostraciones...

    Profe, mire. Llamemos A(x, y), G(x, y), H(x, y), C(x, y) y Q(x, y) a las medias aritmética, geomética, armónica, contraarmónica y cuadrática, respectivamente. Las cuatro relaciones se pueden escribir así:

C(x, y) = 2A(x, y)−H(x, y)

A(x, y) = A(H(x, y), C(x, y))

G(x, y) = G(A(x, y), H(x, y))

Q(x, y) = G(A(x, y), C(x, y))

    

    Vamos con las demostraciones...

    1) 2A(x, y)−H(x, y) = (x+y)−(2xy)/(x+y) = (xx+yy+2xy−2xy)/(x+y) = C(x, y). 

    2) A(H(x, y), C(x, y)) = ((2xy)/(x+y)+(xx+yy)/(x+y))/2 = (x+y)(x+y)/(x+y)/2 = A(x, y). 

    3) G(A(x, y), H(x, y)) = √((x+y)/2·2xy/(x+y)) = G(x, y).

    4) G(A(x, y), C(x, y)) = √((x+y)/2·(xx+yy)/(x+y)) = Q(x, y)

    Si el lector necesita pasos intermedios que los realice...