1646. Armonía geométrica

    Pepe Chapuza mostró a la clase un sencillo dibujo que era un sencillo problema:

    Mire, profe. Si a y b son los catetos de un triángulo rectángulo, d es el lado del cuadrado inscrito que comparte el ángulo recto y s = 2d es el semiperímetro del cuadrado, entonces s es la media armónica de a y b...

    Bonito resultado... que habrá que demostrar...

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla lo hizo de la siguiente manera:

    Profe, mire. El cuadrado separa dos triángulos rectángulos semejantes por lo que sus catetos son proporcionales...

(a−d)/d = d/(b−d)

(a−d) (b−d) = dd

ab = (a+b)d

s = 2d = 2ab/(a+b) = 2/(1/a+1/b)

    Se puede decir que el lado d es el inverso de la suma de los inversos de los catetos a y b... 

d = 1/(1/a+1/b)

    Perfecto... Por cierto, ¿habéis oído hablar de la media contraarnónica? ¡Investigad!

RESOLUCIÓN

    Escuchemos a Yoyó Gaviota. Algo tiene que decirnos...

    Profe mire. La media contraarmónica de dos números x e y es (xx+yy)/(x+y), Esto es, se divide entre la suma de los números la suma de sus cuadrados. Así, por ejemplo, la media contraarmónica de 3 y 7 es (9+49)/(3+7) = 5,8. He aquí cuatro relaciones entre medias:

    1) La media contraarmónica es igual al doble de la media aritmética menos la media armónica.

    2) La media aritmética es igual a la media aritmética de las medias armónica y contraarmónica.

    3) La media geométrica es igual a la media geométrica de las medias aritmética y armónica.

    4) La media cuadrática es igual a la media geométrica de las medias aritmética y contraarmónica.

    Yoyó no podía despedirse sin sendas demostraciones...

    Profe, mire. Llamemos A(x, y), G(x, y), H(x, y), C(x, y) y Q(x, y) a las medias aritmética, geomética, armónica, contraarmónica y cuadrática, respectivamente. Las cuatro relaciones se pueden escribir así:

C(x, y) = 2A(x, y)−H(x, y)

A(x, y) = A(H(x, y), C(x, y))

G(x, y) = G(A(x, y), H(x, y))

Q(x, y) = G(A(x, y), C(x, y))

    

    Vamos con las demostraciones...

    1) 2A(x, y)−H(x, y) = (x+y)−(2xy)/(x+y) = (xx+yy+2xy−2xy)/(x+y) = C(x, y). 

    2) A(H(x, y), C(x, y)) = ((2xy)/(x+y)+(xx+yy)/(x+y))/2 = (x+y)(x+y)/(x+y)/2 = A(x, y). 

    3) G(A(x, y), H(x, y)) = √((x+y)/2·2xy/(x+y)) = G(x, y).

    4) G(A(x, y), C(x, y)) = √((x+y)/2·(xx+yy)/(x+y)) = Q(x, y)

    Si el lector necesita pasos intermedios que los realice...