1645. De noveno grado

     Pepe Chapuza me habló de un polinomio 9.º grado. Dejo que os lo cuente él mismo...

    Mire, profe. Sea P un polinomio de grado 9 tal que para los 10 primeros números naturales, n, se cumple que P(n) = 1/n. Calcule P(11).

    La intuición le sopló a alguno que sería 1/11, pero la intuición no es siempre una confidente fiable...¿Quiere contarme alguien algo acerca de este larguísimo polinomio?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla no se puso a calcular los coeficientes de P, por supuesto...

    Profe, mire. Para cada número n natural con 1≤n≤10 se tiene que n·P(n) − 1 = 0, por lo tanto n es una raíz del polinomio x·P(x) − 1... que tendrá por ende grado 10 y 10 raíces...

x·P(x)−1 = k·(x−1)·(x−2)·...·(x−10)

    Para x = 0, se tiene que −1 = k·10!, de donde k = −1/10!. Así pues, para x = 11...

    11·P(11) − 1 = −1/10!·10! = −1
P(11) = 0

    ¡Hemos encontrado una raíz de P!

    ¿Cuánto vale P(−1), P(12) y P(0)?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota hizo los calculitos...

    Profe, mire..

−1·P(−1) − 1 = −1/10! · 11! = −11  y  P(−1) = 10

12·P(12) − 1 = −1/10! · 11! = −11  y  P(12) = −10/12 = −5/6

    Pero para x=0 este procedimiento no sirve. P(0) es el coeficiente del término de primer grado de x·P(x), es decir... 

−1/10!·(−10!/1−10!/2−...−10!/10) = 1+1/2+...+1/10 = 7381 / 2520

1644. El teorema del incentro

    Profe, mire. Sea a, b y c los lados opuestos de los vértices A, B y C de un triángulo. Sea D la intersección de la bisectriz de ∡ A con el lado a. Y sean d y d' las distancias del incentro del triángulo a A y a D respectivamente. Entonces, d/d' = (b+c)/a.

    Pepe Chapuza había enunciado el famoso teorema del incentro. Se necesitaba una demostración...

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla trazó las bisectrices de ∡ B y de ∡ C...

    Profe, mire. Podemos aplicar el teorema de la bisectriz en los triángulos ABD y ACD...

c/d = m/d'

b/d = n/d'

y sumando las igualdades

c/d + b/d = m/d' + n/d'

(c+b)/d = (m+n)/d' = a/d'

de donde se obtiene el resultado...

    Bonita demostración... ¿Conocéis algún otro resultado interesante con el incentro?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota trajo el siguiente:

    Profe mire. Si d, e y f son las distancias del incentro a A, B y C, respectivamente, entonces se tiene que def = 4Rr², donde R y r son el circunradio y el inradio del triángulo.

1643. Una cuerda normal

    Mire, profe. En una parábola consideremos una cuerda PQ normal en el punto P. Ubíquese P para que la longitud de PQ sea mínima.

    Pepe Chapuza enunció este problema de optimización. Intenta resolverlo...

SOLUCIÓN

    Profe, mire. Como todas las parábolas son semejantes entre sí, voy a resolver este problema para la parábola más sencilla: P(y², y) con y∈ℝ .

    Nina Guindilla sabía cómo simplificar desde el principio...

    Mire, profe. En un punto P de la parábola un vector tangente es u = (2y, 1) y podemos obtener la normal correspondiente: Q(x, y−2y(x−y²)) ≡ Q(x, y−2yx+2y³) con x∈ℝ . Así, el extremo de la cuerda cumple (teniendo en cuenta que para y = 0 no hay cuerda)...

x = (y−2yx+2y³)² = y²+4y²x²+4y⁴−4y²x+4y⁴−8y⁴x

4y²x² + (−8y⁴−4y²−1)x + (4y⁶+4y⁴+y²) = 0

    Dividiendo entre x−y²  

4y²x −4y⁴−4y²−1 = 0
x = (4y⁴+4y²+1) / (4y²) = (2y²+1)² / (2y)² = (y+0.5/y)²
Q((y+0.5/y)², −(y+0.5/y)) ≡ Q(y²+1+0.25/y², −y−0.5/y)

    

    El cuadrado de la longitud de la cuerda es

 
|PQ|²  = (1+0.25/y²)² + (−2y−0.5/y)² = 0.0625/x⁴ + 0.75/y² + 3 + 4y²

 

    Anulando su derivada...

− 0.25/y⁵ − 1.5/y³ + 8y = 0

...multiplicando por −4/y...

1/y⁶ + 6/y⁴ − 32 = 0

...y con el cambio y = 1/√z...

z³ + 6z² − 32 = 0

    Como z = 1/y² no puede ser −4 ha de ser 2, así que y = ±√0.5, de donde P(0.5, ±√0.5).

 

    Faltaba comprobar que era la cuerda normal más corta...

RESOLUCIÓN 

    Yoyó Gaviota derivó la derivada...

    Mire, profe. La segunda derivada del cuadrado de la longitud de la cuerda es positiva...

1.25/y⁶ + 4.5/y⁴ + 8 > 0

1642. Las tres sagitas

     Mire, profe. Entre un triángulo rectángulo y su círculo circunscrito tenemos tres segmentos circulares. ¿Cuál es la relación entre sus sendas sagitas?

    

    Pepe Chapuza ha propuesto este reto... Lo ha acompañado con un dibujo con letras para poder identificar los tres lados del triángulo y las tres sagitas...

SOLUCIÓN

    Mire, profe. El circuncentro de un triángulo rectángulo se encuentra en el punto medio de la hipotenusa, por lo tanto z es el circunradio y se tienen las siguientes relaciones:

z = c/2     por lo que     c = 2z

x = z − b/2     por lo que     b = 2z − 2x

y = z − a/2     por lo que     a = 2z − 2y

    Utilizando ahora el teorema de Pitágoras...

a² + b² = c²

4z² + 4y² − 8zy + 4z² + 4x² − 8zx = 4z²

x² + y² + z² = 2xz + 2yz

 

    Nina Guindilla ha encontrado una relación entre las sagitas... pero siguió...

    Profe, mire. Se puede conseguir una relación equivalente...

x² + y² + z² − 2xz − 2yz + 2xy = 2xy

(z − x − y)² = 2xy

    Como z − x − y = c/2 − c/2 + b/2 − c(2 + a/2 = (a+b−c)/2 > 0 se tiene que

z − x − y = √2√x√y

z = x + y + √(2xy)

    Felicité a Nina... pero ella siguió...

    Inscribamos ahora en los segmentos circulares sendos círculos cuyos diámetros sean las correspondientes sagitas. ¿Qué relación hay entres las áreas de tales círculos?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota encontró la relación entre las áreas...

    Profe, mire. Sean X, Y, Z las áreas de los círculos de diámetro x, y, z, respectivamente. El área de un círculo se obtiene multiplicando el cuadrado de su radio por el número π, por ello...

X = πx²/4     por lo que     x = 2√X/√π

Y = πy²/4     por lo que     y = 2√Y/√π

Z = πz²/4     por lo que     z = 2√Z/√π

    Utilizando la primera relación que encontró Nina...

4X/π + 4Y/π + 4Z/π = 8√X√Z/π + 8√Y√Z/π

X + Y + Z = 2(√X+√Y)√Z

    Bastaba con recordar la relación entre longitudes y áreas...

1641. Las matemáticas del color

     A Pepe Chapuza le gusta mucho el arco iris...  Para incordiarle un poco le recordé que el espectro visible era una pequeñísima parte del conjunto de radiaciones electromagnéticas: las que el ojo humano era capaz de percibir...  Y que había muchos colores que no estaban en el arco iris...

    Profe, mire. No todas las personas ven los mismos colores... Hay ojos más sensibles que otros y los límites del espectro visible (ultravioleta e infrarrojo) varían de unas personas a otras... Además... sabemos que hay personas que confunden colores (daltonismo) por lo que no todos los cerebros interpretan de la misma manera los colores...

    A los siete colores del arco iris les corresponden estas longitudes de onda:

ROJO    700 nm

NARANJA    650 nm

AMARILLO    575 nm

VERDE    550 nm

AZUL CELESTE   480 nm

AÑIL    450 nm

VIOLETA    400 nm

    ¿Cómo se pueden obtener los colores que no están en el arco iris?

SOLUCIÓN

    Mire, profe. Que no todos los colores están en el arco iris lo saben muy bien los pintores, que tienen que mezclar pigmentos: es una mezcla sustractiva. En las pantallas la mezcla es aditiva y se realiza a partir de tres colores primarios: rojo R, verde V y azul A. Así, cada color queda determinado por tres coordenadas cromáticas (R, V, A). Por ejemplo, si para cada coordenada asignamos 4 valores equidistantes según la intensidad (0 = nada, 1 = poca, 2 = mucha, 3 = toda) tendremos una paleta de 4³ = 64 colores... Helos aquí por planos R+V+A = K, para 0 ≤ K ≤ 9.

    Nina Guindilla le ha dado color a las matemáticas... 

    El sonido también se propaga mediante ondas (sonoras) que hacen vibrar nuestros tímpanos. Investiga las matemáticas del ruido...

RESOLUCIÓN

    Profe, mire. Hay muchas matemáticas relacionadas con el sonido, especialmente con la música. Pero yo me voy a centrar en la voz humana: ¡hay matemáticas en la fonología! 

    El espectro audible humano depende de cada persona, ya que hay unos oídos más sensibles que otros. Oímos unas diez octavas (frecuencias que van desde 20 Hz hasta 20000 Hz aproximadamente). La frecuencia es responsable del tono, la amplitud lo es del volumen y los armónicos lo son del timbre de los sonidos...

    El discurso de Yoyó Gaviota empezó interesante...

    Mire, profe. En la voz humana se produce una variación del tono, del volumen y del timbre durante un intervalo de tiempo... Así, tono, volumen, timbre y tiempo son el fundamento de los fonemas de los idioma, del acento de las sílabas, de la entonación de las frases, de los dejes regionales y de esa idiosincrasia oral que nos permite reconocer a una persona e incluso averiguar su estado de ánimo con sólo escuchar... 

    Al igual que sabemos diferenciar un violín de un clarinete por su timbre, sabemos distinguir por ejemplo unas vocales de otras... y esto se puede explicar con matemáticas... 

    Yoyo sabía mantener el interés...

    

    Mire, profe... Se sabe, gracias al análisis de Fourier, que una onda se puede descomponer en armónicos, pues bien, el aparato fonador amortigua unos armónicos y realza otros (formantes) dotando a cada vocal de su peculiar timbre. Esto se consigue mediante la intervención de órganos móviles que modifican las cavidades por las que ha de pasar el aire expelido de los pulmones... como vamos a ver...

    Y a oír... porque Yoyó empezó a pronunciar vocales de distintos idiomas indicando cómo intervenían la mandíbula, la lengua, los labios... y hasta el velo del paladar...

    Profe, mire. Al representar gráficamente el inventario de vocales de un idioma resulta que se obtienen diagramas bastante similares tanto a partir de los formantes (fonética acústica) como a partir de los órganos (fonética articulatoria), confirmando la esperable vinculación entre ambas disciplinas... A cada vocal se le puede asignar unas coordenadas según los valores de los formantes o según las posiciones de los órganos. He aquí un diagrama de vocales...

    En el eje vertical, la mandíbula, que influye en el primer formante. En el eje horizontal, la lengua, que influye, aunque no exclusivamente, en el segundo formante. En "otro" eje, los labios, el velo del paladar, etc., que influyen en varios formantes...

    Me llamó la atención de este diagrama la disposición de los símbolos fonéticos (que igual respondía a sus propias realizaciones)... pero sobre todo me sorprendió la elección de los colores: Yoyó había asignado a cada eje un color primario en una curiosa sinestesia... ¡Yoyó no solo oía las vocales, también las "veía"!

1640. La circunferencia de Feuerbach

     Teníamos en la pizarra un triángulo ABC que no era equilátero... Habíamos localizado el baricentro G y el circuncentro J intersecando las medianas y las mediatrices... Había que localizar el ortocentro H a partir de G y de J... y Pepe Chapuza lo hizo rápidamente porque sabía JH = 3·JG. Pero después cogió el compás, pinchó en el punto medio del segmento JH y trazó una circunferencia que pasaba justamente por los puntos medios de los lados... mientras canturreaba...

    Mire, profe. Esta es la circunferencia de Feuerbach...

    Tuve que seguirle la corriente.. ¿Qué otros puntos estaban la circunferencia de Feuerbach?

SOLUCIÓN

    Mire, profe. ¡Es increíble! La circunferencia de Feuerbach también pasa por los pies de las alturas...

    Nina Guindilla había dibujado con precisión... Llegados a este punto... comenté que la circunferencia de Feuerbach también era conocida como circunferencia de los nueve puntos... ¿Qué otros tres puntos estaban en la circunferencia de Feuerbach?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota observó que la circunferencia de Feuerbach pasaba por los puntos medios de los segmentos AH, BH y CH...

    Mire, profe... Ya tenemos los nueve puntos...

    La precisión en el dibujo no es una demostración matemática... Se deja al lector que investigue...