1642. Las tres sagitas

     Mire, profe. Entre un triángulo rectángulo y su círculo circunscrito tenemos tres segmentos circulares. ¿Cuál es la relación entre sus sendas sagitas?

    

    Pepe Chapuza ha propuesto este reto... Lo ha acompañado con un dibujo con letras para poder identificar los tres lados del triángulo y las tres sagitas...

SOLUCIÓN

    Mire, profe. El circuncentro de un triángulo rectángulo se encuentra en el punto medio de la hipotenusa, por lo tanto z es el circunradio y se tienen las siguientes relaciones:

z = c/2     por lo que     c = 2z

x = z − b/2     por lo que     b = 2z − 2x

y = z − a/2     por lo que     a = 2z − 2y

    Utilizando ahora el teorema de Pitágoras...

a² + b² = c²

4z² + 4y² − 8zy + 4z² + 4x² − 8zx = 4z²

x² + y² + z² = 2xz + 2yz

 

    Nina Guindilla ha encontrado una relación entre las sagitas... pero siguió...

    Profe, mire. Se puede conseguir una relación equivalente...

x² + y² + z² − 2xz − 2yz + 2xy = 2xy

(z − x − y)² = 2xy

    Como z − x − y = c/2 − c/2 + b/2 − c(2 + a/2 = (a+b−c)/2 > 0 se tiene que

z − x − y = √2√x√y

z = x + y + √(2xy)

    Felicité a Nina... pero ella siguió...

    Inscribamos ahora en los segmentos circulares sendos círculos cuyos diámetros sean las correspondientes sagitas. ¿Qué relación hay entres las áreas de tales círculos?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota encontró la relación entre las áreas...

    Profe, mire. Sean X, Y, Z las áreas de los círculos de diámetro x, y, z, respectivamente. El área de un círculo se obtiene multiplicando el cuadrado de su radio por el número π, por ello...

X = πx²/4     por lo que     x = 2√X/√π

Y = πy²/4     por lo que     y = 2√Y/√π

Z = πz²/4     por lo que     z = 2√Z/√π

    Utilizando la primera relación que encontró Nina...

4X/π + 4Y/π + 4Z/π = 8√X√Z/π + 8√Y√Z/π

X + Y + Z = 2(√X+√Y)√Z

    Bastaba con recordar la relación entre longitudes y áreas...