1629. Integrales cíclicas

    Había propuesto integrar la función  f(x) = ln |x| / x  y Pepe Chapuza lo hizo por partes...

    Mire, profe. La derivada de  ln |x|  es  1/x  , así,  F(x) = ln² |x| − F(x)  y  F(x) = ln² |x| / 2 .

    Era un caso de integración cíclica: al integrar por partes se obtiene la misma primitiva. Aunque esta integral se podía haber hecho mediante un cambio de variable, ¿verdad?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla llamó  w = ln |x| , entonces  dw = dx / x .

    Profe, mire. ∫ f(x) dx = ∫ w dw = w²/2 + C = ln² |x| / 2 + C .

    No era un ejemplo demasiado complicado así que propuse esta otra integración cíclica...

 

  P(x) ∈ ∫ eˣ cos(x/3) dx

 

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota derivó la función exponencial e integró la trigonométrica, aunque podría haberlo hecho al revés: en definitiva, el comportamiento es cíclico...

    Profe, mire. Si indico la derivación con una flecha, tenemos

 

eˣ  →  eˣ  →  eˣ 

cos(x/3)  ←  3 sen(x/3)  ←  −9 cos(x/3) 

por tanto

P(x) = eˣ 3 sen(x/3) + eˣ 9 cos(x/3) − 9 P(x)

10 P(x) = eˣ 3 sen(x/3) + eˣ 9 cos(x/3)

P(x) = eˣ/10 ( 3 sen(x/3) + 9 cos(x/3) )

    Siempre es bueno comprobar..., así que voy a derivar la primitiva...

P'(x) = eˣ/10 ( 3 sen(x/3) + 9 cos(x/3) + cos(x/3) − 3 sen(x/3) ) = eˣ cos(x/3)

    Yoyó ha tenido que integrar por partes dos veces para conseguir cerrar el ciclo...