1627. Un ángulo curvilíneo

     Había escrito en la pizarra las funciones  f(x) = x³  y  g(x) = 2x²  y pedí calcular los ángulos que formaban las curvas en los puntos de intersección. Aclaré que un ángulo curvilíneo era el ángulo determinado por las rectas tangentes a las curvas. Y que la existencia de esas rectas estaba asegurada por la derivabilidad de los monomios... Pepe Chapuza, que conocía muy bien los monomios, dibujó un bosquejo de las gráficas... y calculó esos puntos comunes...

    Mire, profe. La ecuación  x³ = 2x²  es equivalente a  x² (x−2) = 0 . Por lo que los puntos comunes son O(0, 0) y P(2, 8). Las derivadas nos proporcionan las pendientes de las rectas tangentes...

f '(x) = 3x²     f '(0) = 0     f '(2) = 12

g'(x) = 4x     g'(0) = 0     g'(2) = 8

    En O el ángulo es de 0º puesto que las dos rectas tangentes son horizontales. Para calcular el ángulo en P tenemos los vectores directores F = (1, 12) y G = (1, 8) de las rectas tangentes... y aplicamos la fórmula...

arccos ((F·G)/(F·G)) = arccos (97/√145/√65) = arccos 0,99915... = 2º 21' 41"

    ¿Quién calcula el ángulo sin recurrir a los vectores directores?

SOLUCIÓN

    Nina guindilla trabajó directamente con las pendientes.

    Mire, profe. Puedo utilizar la fórmula del arcotangente...

arctg (((f '(2)−g'(2))/(1+f '(2)·g'(2))) = arctg (4/97) = arctg 0,041237... = 2º 21' 41"

    ¿Alguna otra posibilidad?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota lo hizo de otra manera.

    Mire, profe. La fórmula de Nina es la de la tangente del ángulo diferencia...

arctg (f '(2)) − arctg (g'(2)) = arctg 12 − arctg 8 = 85º 14' 11" − 82º 52' 30" = 2º 21' 41"