1607. La serie de Madhava

 

   Profe, mire. La manecilla de las horas del reloj indicaba inicialmente las 12 horas. Primero avanzó un radián, entonces retrocedió un tercio de radián, después avanzó un quinto de radián, luego retrocedió un séptimo de radián... y así sucesivamente fue avanzando y retrocediendo ángulos que expresados en radianes eran los inversos de los números impares... No sé si acabó parándose del todo pero en un momento dado dejó de apreciarse el movimiento de vaivén... ¿Qué hora marcaba la manecilla al final?

    Pepe Chapuza recordó que un radián era aproximadamente 57º 17' 45". Espero que este dato no os despiste. Calcula la hora...

SOLUCIÓN

    Profe, mire. Voy a indicar el avanzar o adelantar de la aguja del reloj con un ángulo positivo porque se van sumando minutos... y el retroceder o atrasar con un ángulo negativo ya que entonces los minutos se restan. En radianes, el balanceo que se trae la aguja se indicaría de esta manera:  1 − 1/3 + 1/5 − 1/7 + ... Esta es la famosa serie de Madhava-Gregory-Leibniz y converge a π/4. (De hecho se ha utilizado para calcular aproximaciones del número π.) Según esto, la aguja se pararía a π/4 = 45º de la posición inicial, es decir, a la una y media.

    Nina Guindilla calculó la hora. ¿Quién puede justificar el resultado de la serie de Madhava?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota recurrió a la serie de potencias de la función arcotangente...

    Profe, mire. La derivada de la función g(x) = arctg(x) es g'(x) = 1/(1+x²). Pero esta fración es la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica de razón −x² 

 1/(1+x²) = 1−x²+x⁴−x⁶+x⁸−x¹⁰+x¹²−x¹⁴+...

que integrando da...

arctg(x) = x−x³/3+x⁵/5−x⁷/7+x⁹/9−x¹¹/11+x¹³/13−x¹⁵/15+...

ya que arctg(0)=0. Estas series son convergentes para x∊ [−1, 1] por lo que para x=1 

1−1/3+1/5−1/7+1/9−1/11+1/13−1/15+... = arctg(1) = π/4

   Dejaremos al lector que investigue la convergencia de estas series...