1564. La cuarta dimensión. (2.ª parte)

     Pepe Chapuza había leído por su cuenta algo sobre los cuaterniones (o cuaternios de Hamilton) y llegó a clase inmerso en el hiperespacio...

    Profe, mire. Los cuaternios son unos números hipercomplejos que tienen una parte real y tres imaginarias, de ahí el nombre de cuaternio. Por ejemplo  3 + 5i − 4j + 7k  donde i, j y k son las unidades imaginarias puras de los cuaternios. (1, i, j y k se denominan rotores básicos.) 

    Interrumpí a Pepe. No podía irrumpir con esos conceptos tan "hipercomplejos"... sin hacer siquiera un dibujo en la pizarra...

    Así que dibujó en la pizarra y prosiguió...

    Mire, profe. 

    Podemos imaginarnos que i, j y k son los vectores I, J y K de una base canónica de un espacio vectorial tridimensional por lo que el cuaternio del ejemplo anterior sería algo así como  v + V, donde  v  sería el número real  3  y  V  el "vector imaginario"  ( 5, −4, 7 ) .

    Le dejé proseguir con su imaginación y su falta de rigor...

    La suma de dos cuaternios no tiene ningún misterio:  (v+V) + (w+W)= (v+w) + (V+W) . (Solo hay que sumar los números por un lado y los vectores por otro.) Tampoco tiene misterios el producto de un escalar real por un cuaternio:  u · (v + V) = u v + u V . Así, si la parte real fuera 0, tenemos el espacio vectorial tridimensional que mencioné antes: el de los cuaternios imaginarios puros.

    Sin embargo el misterioso producto de cuaternios ha de seguir las reglas de los rotores básicos:

i·i = j·j = k·k = −1         i·j  = − j·i  = 1·k = k         j·k = − k·j = 1·i = i         k·i = − i·k = 1·j = j

    ¿Se da cuenta? El producto de los rotores básicos unas veces funciona como el producto de números complejos y otras como el producto vectorial de vectores...  ( I×J = K )

    Le pedí que no siguiera... Para que pudiéramos seguirlo habría que practicar... ¡Venga!

    ( 3 + (5, −4, 7) ) · ( 2 + (1, 6, 8) )   =   ¿?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla escribió así los cuaternios:  ( 3 + 5i − 4j + 7k ) · ( 2 + i + 6j + 8k )

    Mire, profe. 

    Para la parte real tenemos  3·2 + 5i·i − 4j·6j + 7k·8k = 6 − 5 + 24 − 56 = −31 .

    Para el rotor básico i,  3·i + 5i·2 − 4j·8k + 7k·6j = (3+10−32−42)i = −63i .

    Para el rotor básico j,  3·6j − 4j·2 + 5i·8k + 7k·i = (18−8−40+7)j = −23j .

    Y para el rotor básico k,  3·8k + 7k·2 +5i·6j − 4j·i = (24+14+30+4)k = 72k .

    Por lo tanto el producto es  −31 −63i −23j +72k = −31 + (−63, −23, 72)

    Teniendo en cuenta que ni el producto de cuaternios ni el producto de matrices poseen la propiedad conmutativa, se podría escribir la solución (con mucho cuidado) de la siguiente manera:

    El ejemplo estaba resuelto, ahora faltaba una fórmula general para el producto...

RESOLUCIÓN

    Yoyo Gaviota tomó la palabra:

    Mire, profe. Con el ejemplo que ha calculado Nina la fórmula está cantada...

(v+V) · (w+W)  =  (v w − V●W) + (vW + wV + V×W)

donde, para evitar confusiones, he utilizado  ●  para indicar el producto escalar y  ×  para el producto vectorial...