1557. Una distribución "normal"

 

    Habíamos terminado el tema de distribuciones de probabilidad, las campanas de Gauss, etc.,  y ya estaba Pepe Chapuza con su “ejercicio de afianzamiento”...

 

    Mire, profe. Se sabe que el peso al nacer de los bebés de un determinado país tiene una distribución normal. Se sabe también que el 5% de los bebés nace con más de 4 kg y que el 20% de los bebés nace con menos de 2,5 kg . Calcula la esperanza y la varianza del peso de un bebé al nacer.

 

    Pues... eso. A afianzar los conocimientos...

 

SOLUCIÓN

 

    Nina Guindilla demostró su afianzamiento:

 

    Profe, mire. Me están dando   P(X>4) = 0,05   y   P(X<2,5) = 0,2   con   X ~ N(μ, σ) .

    Tipificando   P(Z>(4−μ)/σ) = 0,05   y   P(Z<(2,5−μ)/σ) = 0,2   con   Z ~ N(0, 1) .

    Por lo tanto   0,05 = 1 − Φ((4−μ)/σ)   y   0,2 = 1 − Φ(−(2,5−μ)/σ) .

    De donde   Φ((4−μ)/σ) = 1,95   y   Φ(−(2,5−μ)/σ) = 0,8  .

    Buscando en la tabla de la normal estándar   (4−μ)/σ = 1,645   y    −(2,5−μ)/σ = 0,84.

    Tenemos el sistema   

4 − μ = 1,645 σ

−2,5 + μ = 0,84 σ

 

    Sumando las ecuaciones   1,5 = 2,485 σ  .

    De donde   σ = 1,5 / 2,485 = 0,6036 kg .  LA VARIANZA ES    σ² = 0,365 kg²  .

    Y   μ = 4 − 1,645·0,6036 = 3,0071 kg .   LA ESPERANZA ES    μ = 3,007 kg  .

 

    Para terminar, Nina preguntó cuántos bebés habría que elegir al azar para que la probabilidad de que al menos uno de ellos pese más de 4 kg sea mayor que 0,95...

 

    Pues... ¡termina!

 

RESOLUCIÓN

    Profe, mire. Estamos ante una distribución binomial con  p = 0,05 . Si elegimos  n  bebés,  0,95 < P(X>0) = 1 − P(X=0) = 1 − (1−0,05)ⁿ = 1 − 0,95 ⁿ . Por tanto

 

0,95 ⁿ < 1 − 0,95 = 0,05

n > log 0,05 / log 0,95 = 58,4

    La solución es 59 bebés.

    Yoyó Peluso terminó...